자유 공간의 동질성 공동 한계 계산 $S^1$-동작
문맥. 나는 Thomas Nikolaus, Peter Scholze, On topological cyclic homology , arXiv : 1707.01799 (on p147)의 B.4에있는 주장을 이해하려고합니다 .
나는 아직도 길을 잃었다. 그러나 Maxime의 유용한 의견과 답변에서 (X), (Y), (Z)로 나열된 내 우려 사항을 나열하겠습니다.
단계적으로 설명 된 B.4의 증명 : (주요 단계에 대한 숫자 읽기)
- 우리는 $1$ -범주 $\Lambda_\infty$ 와 함께 $B \Bbb Z $-동작. 우리는 보여주고 싶다$$|\Lambda_1| \simeq K(\Bbb Z, 2)$$
그래서 나는 이것이 왜 의미하는지 이해하려고 노력하고 있습니다.
첫째, 어떤 범주에서 발생합니까? 아래 답변에서 더 이해하고 싶습니다.$$ \Lambda_\infty \in Fun(BB\Bbb Z, Cat)$$ 주어진 구조에서.
(X ') 주석에서와 같이 $$object \in Fun(BB\Bbb Z.Cat) \simeq Map(B\Bbb Z, Fun(C,C)^{\simeq}) \simeq Map( \Bbb Z, \Omega (Fun(C,C)^{\simeq}, id)$$
아래 첨자 카테고리를 생략 한 경우. 그러한 동등성을 얻기 위해 사용하는 부속물을 자세히 설명하는 것이 도움이 될 것입니다. 왜 우리가 이러한 동등성을 가지고 있는지 아직 명확하지 않기 때문에.
- 새로운 카테고리를 구성하고 $\Lambda_1:= \Lambda_\infty/B\Bbb Z= \Lambda_\infty/A$.
이제 나는 무엇을 이해하지 못합니다 $(-)/B\Bbb Z$방법. 즉, 어떤 종류의 colimit를 복용하고 있습니까?
(X) 각 $A \in CAlg(Cat)$ 어떤 물건 $BA \in Cat$,
$$Mod_{A}(Cat) \simeq Fun(BA, Cat) $$
그 후 $$\Lambda_1 \simeq colim _{BA} \Lambda_\infty$$
- 우리는 계산하고 싶습니다 $|N\Lambda_1|$. 그런 다음$|\quad|$ 인접 해 있습니다.
$$ |\Lambda_1| \simeq colim_A |\Lambda_\infty| \simeq |BA| $$
두 번째 동등성은
(와이) $Spc^{|BA|} \rightarrow Spc$보수적입니다. 이것이 그로부터 이어 지나요$Mod_{|BA|}(Spc) \rightarrow Spc$보수적입니까? .
(Z) 명시 적 공식 $BA$. 왜 우리가 지금 가질 수 있는지 명확하지 않은 것 같습니다.$BB\Bbb Z= K(\Bbb Z,2)$.
답변
그들의 맥락에서 $C$ 행동이있다 $B\mathbb Z$, 아닌 $\mathbb Z$! (그렇지 않으면$C/B\mathbb Z$ 이것은 본질적으로 정체성 펑터의 자연스런 변화에 해당합니다.
첫 번째 주장과 교환 제곱의 경우 기하학적 실현이 왼쪽 인접이므로 이것은 사실입니다. $Cat_\infty \to \mathsf{Spaces}$ 따라서 호모 토피 colimit를 사용하는 경우 왼쪽 인접 부분에 의해 보존됩니다 (그리고 colimit가 homotopy colimit 인 이유를 설명합니다).
두 번째 주장의 경우 $Fun(BG, \mathsf{Spaces})$, $*$ 터미널이고 잊어 버리는 펑 터는 $\mathsf{Spaces}$ 보수적입니다. 특히 $G$-액션 (이것은 종종 정품이라고하는 것과 다릅니다. $G$-space) 그 기본 공간이 축소 가능한 것은 해당 범주에서 $*$ 실제로 호모 토피 colimit를 갖는 사소한 행동으로 $BG$.
새로운 X, Y, Z 문제를 해결하겠습니다.
(X) : 아니요, 그런 경우는 아닙니다. $BA$ 누구에게나 존재 $A$, 그것은 사실에 특정한 $A$ 여기에 그룹이 있습니다 (특히, $S^1$ 또는 $B\mathbb Z$). 사실, 나는 그들이 그 동등성을 주장한다고 생각하지 않습니다. 나는 그들이 오른쪽을 카테고리 의 정의 로 취하고 있다고 가정합니다.$G$-동작.
더 일반적으로, 당신은 할 경우 어떤 $\infty$-범주 $D$, $Fun(BG,D)$ 우리가 정의하는 것입니다 "$D$-객체 $G$-action "(참고 $G$ "속"일 필요는 없습니다. $D$, 그것이 그러한 일반성에서 의미하는 것이 무엇이든). 그래서 경우에$D= Cat_\infty$ 또는 $\mathsf{Spaces}$, 왼쪽에도 의미가 있으며 그들은 동의하지만 증명에서 그것을 알거나 사용할 필요는 없습니다.
(Y) : 모든 $\infty$-카테고리 $C,D$, 제한 펑터 $Fun(C,D)\to Fun(Ob(C),D)$ 보수적입니다. 이것은 각 구성 요소가 가역적 일 때만 자연 변환이 가역적이라는 것을 의미합니다. $1$-범주 적으로, 약간의 작업이 필요함 $\infty$-범주 적이지만 너무 어렵지는 않습니다). 그런 다음 이것을 전문화합니다.$C= BG$ 하나의 개체로 $D$도대체 무엇이. 이것은 다음과 같은 객체 간의 동등성을 의미합니다.$G$-액션은 $G$-기본 객체에 대한 등가 인 등변 성 맵.
(Z) : $BB\mathbb Z= K(\mathbb Z,2)$ 대수 토폴로지의 고전적 사실입니다.
모든 (좋은) 토폴로지 그룹 $G$, $\Omega BG\simeq G$, 그래서 $\Omega^2BB\mathbb Z \simeq \mathbb Z$, 및 $BB\mathbb Z$ 단순히 연결되어 있습니다 (본질적으로 $B(-)$)이므로 다음과 같습니다. $K(\mathbb Z,2)$.