제한된 선형 연산자의 스펙트럼

Question

[wikipedia] [1]에 따르면

허락하다 $T$ Banach 공간에서 작동하는 경계 선형 연산자 $X$ 복잡한 스칼라 필드에 대해 $\mathbb{C}$ 과 $I$ ID 연산자가되다 $X$. 스펙트럼$T$ 모두의 집합입니다 $\lambda \in \mathbb{C}$ 운영자가 $T-\lambda I$ 제한된 선형 연산자 인 역이 없습니다.

이 정의는 다음과 같은 이유로 나에게 정확하지 않은 것처럼 보입니다. 때문에$X$ Banach입니다. $T$역이 있습니다. [이 역은 경계가 있어야합니다] [2]. 그러나 (제 생각에는) 위키피디아의 정의가 오해의 소지가있을 수 있습니다.$T-\lambda I$ 가역적이지만 제한되지는 않습니다.이 경우 $\lambda$ 또한 스펙트럼의 요소 인 것 같습니다 $T$위의 정의에 따라. 이 경우 스펙트럼의 더 나은 정의는 다음과 같은 모든 복소수의 집합 일 것입니다.$T-\lambda I$ 뒤집을 수 없습니다.

질문 : 만약$X$Banach 대신 표준이라고 가정합니다. 스펙트럼의 가장 좋은 정의는 무엇입니까? 하나의 요구를합니까$T-\lambda I$반전 될 반전 여부는 아니 와 경계?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-, Basic % 20properties, subset % 20of % 20the % 20complex % 20plane. & text = would % 20be % 20defined % 20everywhere % 20on % 20the % 20complex % 20plane % 20and % 20bounded. & text = The % 20boundedness % 20of % 20the % 20spectrum, bounded % 20by % 20 % 7C % 7CT % 7C % 7C. [2] : 경계 연산자의 역?

Answer 1

만약 $T-\lambda I$ 주사제, 그럼 $T-\lambda I$ 에 역을 가질 것이다 $\mathcal{R}(T-\lambda I)$하지만 그렇다고해서 $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$제한됩니다. 예를 들어$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ 정의 $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$제한됩니다. 반대로$T^{-1}g = g'$ 닫혀 있으면 함수에서만 정의됩니다. $g \in L^2[0,1]$ 그것은

$\;\;\;$(i) 절대적으로 연속적,
$\;\;\;$(ii) 사라짐 $0$, 및
$\;\;\;$(iii) 제곱 적분 미분 $[0,1]$.

더욱이 $T^{-1}$도메인에 제한되지 않습니다. 그래서 연장 할 수 없습니다$T^{-1}$계속되는 방식으로. 범위$T$ 모두였다 $X$, 그래서 $T$ 모든 곳에서 정의되었습니다 $L^2[0,1]$, 그러면 귀하의 주장이 적용됩니다. $T$Banach 공간에 정의되고 닫힌 그래프가 있습니다. 하지만 그럴 필요는 없습니다.$T^{-1}$ 이 경우에는 발생하지 않으므로 존재합니다.