Jensen의 불평등이 거의 빡빡 할 때 편차 확률
이것은 Math StackExchange의 아직 답변되지 않은 질문에 대한 교차 게시물입니다.
https://math.stackexchange.com/questions/3906767/probability-of-a-deviation-when-jensen-s-inequality-is-almost-tight
허락하다 $X>0$무작위 변수 여야합니다. 우리가 일부에 대해 알고 있다고 가정 해 봅시다.$\epsilon \geq 0$, \ begin {eqnarray} \ log (E [X]) \ leq E [\ log (X)] + \ epsilon \ tag {1} \ label {eq : primary} \ end {eqnarray} 문제는 다음과 같습니다.$\epsilon$작은 경우 \ begin {eqnarray *} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) \ end {eqnarray *}에 대한 좋은 경계를 찾을 수 있습니까?$\eta > 0$. 하나의 경계는 다음과 같이 얻을 수 있습니다. \ begin {eqnarray *} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) & = & P \ left (X> \ exp ( E [\ log (X)] + \ eta) \ right) \\ & \ leq & E [X] / \ exp (E [\ log (X)] + \ eta) \\ & = & \ exp (\ log E [X]-E [\ log (X)]-\ eta) \\ & \ leq & \ exp (\ epsilon-\ eta) \ end {eqnarray *} 여기서 첫 번째 부등식은 Markov의 부등식에서 따릅니다. 이것은 다음과 같은 지수 붕괴로 인해 좋은 경계처럼 보입니다.$\eta$그러나 자세히 살펴보면 상당히 개선 될 수있는 것으로 보입니다. 우리가 가지고 있다면$\epsilon = 0$,이 경계는 \ begin {eqnarray} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) & \ leq & \ exp (-\ eta) \ tag {2}를 제공합니다. \ label {eq : good_but_not_best} \ end {eqnarray} 그러나 Jensen의 부등식에서 (\ ref {eq : primary})를$\epsilon = 0$ 우리는 얻는다 $\log(E[X]) = E[\log(X)]$ 따라서 $X$거의 모든 곳에서 상수입니다. 결과적으로$\eta>0$, \ begin {eqnarray *} P \ left (\ log (X)> E [\ log (X)] + \ eta \ right) = 0. \ end {eqnarray *} 는 (물론) ( \ ref {eq : good_but_not_best}).
더 나은 경계는 다음과 같이 0으로 감소해야하는 것처럼 보입니다. $\epsilon$ 쇠퇴하고 이상적으로는 $\eta$. 어떤 제안?
(이 질문의 버전이 이전 에 Jensen의 불평등의 양적 버전에 대해 질문되었음을 알고 있습니까? )
답변
$\newcommand\ep\epsilon $허락하다 $u:=\eta>0$이므로 문제의 확률은 $P(\ln X>E\ln X+u)$. 이 확률은 우리가 그곳을 대체해도 변하지 않을 것입니다.$X$ 으로 $tX$ 진짜 $t>0$. 따라서 일반성을 잃지 않고 \ begin {equation *} E \ ln X = 0, \ tag {-1} \ end {equation *} 따라서 조건 (1)을 \ begin {equation *} EX \ 로 다시 작성할 수 있습니다. le e ^ \ ep, \ tag {0} \ end {equation *} 그리고 문제의 확률은 \ begin {equation *} P (X> v), \ end {equation *} 여기서 \ begin {equation * } v : = e ^ u> 1. \ end {equation *} 이제 아무거나$z\in(0,v)$ 그리고 모든 진짜 $x>0$let
\ begin {equation *} g (x) : = ax-b \ ln x + c, \ end {equation *} 여기서 \ begin {equation *} a : = a (z) : = \ frac {1 / v } {h (r)}, \ quad b : = b (z) : = az, \ quad c : = c (z) : = az \ ln \ frac ze, \ end {equation *} \ begin {equation * } h (r) : = 1-r + r \ ln r, \ quad r : = z / v \ in (0,1). \ end {equation *} 함수$h$ 감소하고있다 $(0,1)$,와 함께 $h(1-)=0$. 그래서,$h>0$ 의 위에 $(0,1)$ 따라서 $a>0$ 과 $b>0$. 그래서 기능$g$ 볼록하다 $(0,\infty)$. 또한, \ begin {equation *} g (z) = g '(z) = 0, \ quad g (v) = 1. \ end {equation *} 다음과 같습니다.$g(x)\ge1(x>v)$ 모든 진짜 $x>0$따라서 (-1)과 (0)의 관점에서
\ begin {equation *} P (X> v) \ le Eg (X) = a \, EX + c \ le ae ^ \ ep + c. \ tag {1} \ end {equation *} 후자의 표현,$ae^\ep+c$, (1)에서 이제 최소화 할 수 있습니다. $z\in(0,v)$, 최소화 기는 Lambert의 관점에서 표현됩니다. $W$ 함수.
차선책이지만 간단한 선택 $z=1$in (1)은 \ begin {equation *} P (\ ln X> E \ ln X + u) = P (X> v) \ le \ frac {e ^ \ ep-1} {v-1- \ ln을 산출합니다. v} \ end {equation *} 따라서 \ begin {equation *} P (\ ln X> E \ ln X + u) \ le B_ \ ep (u) : = \ min \ Big (1, \ frac {e ^ \ ep-1} {e ^ u-1-u} \ Big). \ end {equation *} 단순 상한$B_\ep(u)$ 원하는 속성이 모두 있습니다.
(i) 각 레알 $u>0$ \ begin {equation *} B_ \ ep (u) \ underset {\ ep \ downarrow0} \ longrightarrow0; \ end {등식 *}
(ii) 전체적으로 균일하게 $\ep\in(0,1)$(예) \ begin {equation *} B_ \ ep (u) = O (e ^ {-u}) \ end {equation *} as$u\to\infty$.