적분에 대한 균일 한 경계 $\left\lVert f' \right\rVert_4^4$

Question

상수가 있음을 보여 $C>0$ 컴팩트하게 지원되는 $C^1$ 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, 우리는 $$\int_{\mathbb{R}} \left(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right)^4dy \le C \left\lVert f' \right\rVert_4^4\qquad\text{for all }x \in \mathbb{R}.$$

이것은 내가 어떻게 해야할지 모르는 오래된 quals 문제입니다. 한 가지 힌트는 부분 별 통합을 사용할 수 있지만 힌트를 적용하는 방법도 모른다는 것입니다. 어떤 접근 방식이라도 대단히 감사하겠습니다.

Answer 1

이 인수의 다소 복사본입니다 여기에 , (2 회) 미적분과 코시 슈왈츠의 불평등의 기본 정리를 사용 : 부분에서 더 많은 열심히 단지 통합 이상의 것 같다,

\begin{align} (f(y) - f(x))^4 &= \left( \int_x^y f'(t) dt\right)^4\\ &\le \left( \int_x^y |f'(t)|^2 dt\right)^2 \left( \int_x^y 1^2 dt\right)^2 \\ \Rightarrow \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4 &\le \left( \frac{1}{y-x} \int_x^y |f'(t)|^2 dt\right)^2 \\ &= \frac{1}{(y-x)^2} \left(\int_x^y (t-x)^{-1/4} (t-x)^{1/4} |f'(t)|^2 dt\right)^2 \\ &\le \frac{1}{(y-x)^2} \left| \int_x^y (|t-x|^{-1/2} dt \right|\cdot \int_x^y |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt \\ &= \frac{2}{|y-x|^{3/2}}\int_x^y |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt. \end{align} 에 대한 통합 $y$ Fubini를 사용하면
\begin{align} \int_{x}^\infty \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4dy &\le \int_x^\infty \frac{2}{|y-x|^{3/2}}\int_x^y |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt dy \\ &= 2 \int_x^\infty \left( \int_t^{\infty} \frac{1}{|y-x|^{3/2}} dy\right) |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt \\ &= 4 \int_x^\infty |t-x|^{-1/2} |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt = 4\int_x^\infty|f'(t)|^4 dt. \end{align}

유사하게 $$ \int_{-\infty}^x \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4 dy\le 4 \int_{-\infty}^x |f'(t)|^4 dt.$$

따라서 우리는 $$ \int_{\mathbb R} \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4 dy \le 4\| f'\|_4^4.$$

Answer 2

Hardy의 불평등에 대한 Wikipedia 기사에서 가져온 또 다른 증거가 있습니다.

쓰다 $\frac{f(y)-f(x)}{y-x} = \frac1{y-x}\int_x^yf'(u)du = \int_0^1 f'(x+(y-x)v)dv. $

이제 $p>1$. Minkowski의 불평등으로 인해$$\bigg[\int_{\Bbb R} \bigg| \int_0^1 f'(x+(y-x)v)dv\bigg|^p dy \bigg]^{1/p}$$

$$\leq \int_0^1 \bigg[\int_{\Bbb R} |f'(x+(y-x)v)|^pdy\bigg]^{1/p}dv.$$

이제 내부 적분에 대해 변수를 변경하십시오. $z:=vy+(x-vx)$ 그리고 당신은 그것을 볼 $dy = v^{-1}dz$. 따라서 마지막 표현은$$\int_0^1 v^{-1/p} \|f'\|_p dv = \frac{p}{p-1}\|f'\|_p.$$