적립 포인트 정의에 대한 혼란

Question

나는 미적분에 대한 작업 뒤에 더 나은 직관을 얻기 위해 시퀀스의 한계와 누적 포인트에 대해 조금 배우려고 노력했고 시퀀스와 세트의 한계, 한계 포인트 및 누적 포인트의 정의에 대해 혼란스러워했습니다.

내 첫 번째 질문은 누적 포인트와 동일한 시퀀스의 한계이며 내가 온라인에서 본 한계 포인트와 동일하며 모두 매우 모호하다는 것입니다. 두 번째 혼란은 왜 안 되는가에 대한 증거 나 직관적 인 설명이 없다면 세트의 한계와 동일한 시퀀스의 한계입니다.

나는 이것이 아마도 여러분 모두에게 매우 간단하고 아마도 사소한 개념이라는 것을 알고 있지만 그것은 나를 많이 혼란스럽게 만듭니다. 미리 감사드립니다

Answer 1

한계점은 누적 점과 동일하며 그 정의는 다음과 같습니다.

요점 $x$ 세트의 한계점 $A$ 모든 이웃에 대해 $S$ 의 $x$ 존재 $y \in S$ 그런 $y \in A$, $y \neq x$.

저는 "누적 포인트"라는 이름을 강력히 선호합니다. 왜냐하면 실제로 여기에서 제한을받지 않기 때문입니다. 그 반대입니다! 제한을 할 수 있으려면 일반적으로 누적 포인트가 필요합니다. 제한의 토폴로지 정의에는 이웃을 가져 와서 함수를 계산해야하기 때문입니다.

두 번째 질문에 대해 :

요점 $x$시퀀스 의 누적 포인트 $\{x_n\}$ 이웃이라면 $S$ 의 $x$ 무한히 많은 인덱스가 $n$ 그런 $x_n \in S$.

본질적으로 위와 동일한 정의이지만 $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. 그러나 특정 지점 이후의 모든 인덱스 는 시퀀스에 대한 제한 지점 입니다.$n$어떤 동네에 있습니다. 공식적으로 :

요점 $x$ 시퀀스의 한계 $\{x_n\}$ 이웃이라면 $S$ 의 $x$ 존재하는 것과 같다 $N \in \mathbb{N}$ 그런 $x_n \in S$ 모든 $n>N$.

그리고 이것은 단순히 누적 포인트가되는 것보다 더 강합니다. 시퀀스를 고려하여 차이를 볼 수 있습니다. $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. 모든 이웃$1$ 이 시퀀스의 무한한 많은 포인트, 즉 모든 $x_{2n}$ 어느 정도 후에 $n$. 마찬가지로$-1$ 모든 것을 포함합니다 $x_{2n+1}$ 어느 정도 후에 $n$, 그래서 둘 다 $1$ 과 $-1$ 클러스터 포인트 $x_n$. 그러나 제한은 없습니다 (실제로 제한은 존재하는 경우 고유합니다).

Answer 2

한계점과 한계점에는 차이가 있습니다. 개념은 시퀀스와 기능에 대해 정의되지만 위의 답변에서 언급했듯이 세트에 대해 제한점이 정의됩니다. 시퀀스에는 제한점이있을 수 있지만 제한이 없습니다. 예를 들어$\{a_n\}$ 다음과 같이 정의됩니다. $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ 그 $a_n=1+\frac{1}{n} $ 홀수 n 및 $a_n=-1+\frac{1}{n} $짝수를 위해. 이 순서에서 둘 다$1$ 과 $-1$ 한계점이지만 시퀀스는 수렴하지 않고 한계가 없습니다.