점이 하나 뿐인 광섬유는 필드의 사양과 동형입니다.

Question

허락하다 $R$ 과 $T$단결을 가진 교환 고리가 되십시오. 허락하다$Q$ 최고의 이상이되다 $R$ 과 $\phi:R \to T$. 가정 $T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$단 하나의 주요 이상이 있습니다. 그런 다음 \ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & T \\ \ uparrow & & \ uparrow \\ R_Q / Q R_Q 의 왼쪽에있는 세로지도를 증명하고 싶습니다. & \ leftarrow & R \ end {array}
는 동형입니다. 이것을 어떻게 증명할 수 있습니까?

나는 주어진 것을 보여줌으로써 이것을 증명할 수 있다고 생각했습니다. $t \otimes r$, 우리는 $t \otimes r = 1 \otimes s$ 일부 $s \in R_Q/Q R_Q$, 그러나 이것은 경우에만 작동하는 것 같습니다 $t$ 이미지에 $\phi$...

편집하다. 댓글에서 볼 수 있듯이 질문이 정확하지 않은 것 같습니다. 이를 실현하기 위해 어떤 가정을 추가 할 수 있습니까? 나는 Mumford 에서 증명의 세부 사항을 이해하려고 노력하고 있습니다.$f$ 위에 $y$ 이다 $\operatorname{Spec} \kappa(y)$ 주어진 $f^{\#}(\mathfrak{m}_y) O_{X,x} = \mathfrak{m}_x$. 감사합니다

Answer 1

정리 : Let $f:X\rightarrow Y$계획의 형태입니다. 그때$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ 세트로 $\kappa (p)$ 잔류 필드입니다. $p\in Y$.

증거 : 가정 $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ 아핀이고 $p\in \operatorname{Spec} B$. 세트$S=B\backslash p$. 그러면 다음과 같은 1-1 서신이 있습니다. $$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$

이제 패치 인수를 사용하여 증명을 완료합니다.

그래서 당신은 언제 $\frac{A_p }{pA_p}$ 가정 분야입니다 $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$싱글 톤입니다. 허락하다$P\in \operatorname {Spec} {A}$ 독특한 주요 이상이되어 $P\cap B\backslash p =\phi $ 과 $P\supset pA$. 그때$\frac{A_p }{pA_p}$ 필드 iff $pA_p =PA_p$즉, 최대 이상 $\mathcal O_{Y,p}$ 최대 이상을 생성 $\mathcal O_{X,P}$ 그것은 당신이 연결 한 질문에서 주어진 것입니다.