정규 벡터 공간을 표시하는 것은 닫힌 부분 공간과 1 차원 부분 공간의 직접적인 합입니다.

Question

아래는 Lang의 Real and Functional Analysis에서 Chaper IV Banach 공간의 연습 7입니다.

허락하다 $F$ 표준 벡터 공간의 닫힌 부분 공간 $E$, 그리고 $v\in E, v\notin F$. 보여줘$F+ \Bbb{R}v$닫힙니다. 만약$E=F+ \Bbb{R}v$, 표시 $E$ 의 직접 합계입니다 $F$ 과 $\Bbb Rv$ (지도를 의미 $\phi(f,rv)= f+rv$ 에서 최상위 선형 동형 $F\times \Bbb Rv$ ...에 $E$, 즉 동형과 동형).

증명할 수 있습니다 $F+ \Bbb{R}v$ 몫 공간을보고 닫힙니다. $E/F$. 이미지로$F+ \Bbb{R}v$ 몫지도 아래 $\rho$ 동종이다 $\Bbb R$, 자동으로 닫힙니다. $E/F$, 역 이미지가 닫힌 $E$ 연속성에 의해 $\rho$. 그러나$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$,이를 통해 $F+ \Bbb{R}v$. 그러나 나는 후자의 진술을 보여주는 데 집착합니다. 보여 주면 충분합니다.$\phi$ 공개 된지도입니다. $U_1+U_2$ 열려 있다면 $U_1$ 과 $U_2$ 의 공개 하위 집합입니다 $F$ 과 $\Bbb Rv$, 각각. Lang은 이것이 더 일반적인 결과 인 오픈 매핑 정리의 쉬운 결과라고 언급합니다. 그러나 그것은 완전성을 가정하지 않습니다.$E$? 나는 몫 공간 기술을 사용하려고 노력하지만 여기에서는 적용되지 않는 것 같습니다.$U_1+U_2$포화 될 필요가 없습니다. 어떻게 진행해야합니까? 미리 감사드립니다.

Answer 1

허락하다 $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ 에 의해 정의되다 $\phi(f,rv):=f+rv$.

덧셈과 스칼라 곱셈의 구성이므로 연속적입니다. 분명히 선형입니다. 그것은 가설에 의해 시작되었으며, 이후 일대일$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$

그 후 $\phi$ 뒤집을 수 있고 남은 것은 $f+rv\mapsto(f,rv)$ 연속적입니다.

Hahn-Banach 정리에 따르면 $F$ 폐쇄, 연속 기능이 있습니다 $\psi$ 단위 규범의 $\psi F=0$ 그러나 $\psi(v)=t\ne0$. 허락하다$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. 그때$\pi$ 이미지가있는 연속 투사입니다. $\mathbb{R}v$ 및 커널 $F$, 그건 \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} 그것은 다음과 같습니다 $E=F\oplus\mathbb{R}v$.