정규 양자화 뒤에있는 "비밀"은 무엇입니까?
QM을 배운 방식 (그리고 아마도 전 세계 대부분의 학생들)은 매우 이상합니다. 직관적 인 설명이나 이해가 없습니다. 대신 모든 수량을 연산자로 변환하는 규칙을 기반으로하는 고전 이론을 양자화하는 방법에 대한 레시피가 제공되었으며 Poisson 브래킷이 정류자로 변환되었습니다.
저에게는 큰 비밀이 남아있는 것 같습니다. 더 이상의 직관적 인 설명이 없이는 이것이 우리 세계가 행동하는 방식이라고 믿기가 어렵습니다. 그러나 몇 년 동안의 검색도 도움이되지 않았고 아무것도 찾지 못했습니다. 아는 사람 있나요? 저는 "QM 이해"에 대해 말하는 것이 아닙니다. 제가 원하는 것은이 표준 양자화 절차를 이해하는 데 한 단계 더 깊이 들어가는 작은 단서뿐입니다.
답변
과연,
정규 양자화는 작동 할 때만 작동합니다 .
그것이 때때로 작동하더라도 이것이 양자 이론을 구성하는 방법이라고 생각하는 것은 제 생각에 잘못되고 위험합니다. 그것은 수소 스펙트럼의 이론적 설명으로서 놀라운 결과를 낳았습니다.
그러나 결국 세상은 양자이고 고전 물리학은 근사치입니다. 양자화 절차 는 잘못된 방향으로 진행됩니다! 실제로 Groenewold -Van Hove의 정리 로 알려진 이러한 절차의 순진한 타당성에 대한 몇 가지 진행되지 않은 결과가 있습니다.
그러나 질문은 남아 있습니다. Poisson 대괄호와 정류자 사이의 이상한 관계가 존재하는 이유는 무엇입니까?
사실,이 관계는 순진한 양자화 절차에 동기를 부여합니다.
제 생각에 가장 깊은 대답은 고전 및 양자 이론과 공통된 대칭 그룹 의 존재에 달려 있습니다.
이 그룹 $G$변환의 수는 거짓말 그룹 이므로 소위 거짓말 대수로 특성화됩니다. $\mathfrak{g}$, 정류자 구조를 갖춘 벡터 공간 $[a,b] \in \mathfrak{g}$ 만약 $a,b\in \mathfrak{g}$. 우리는 생각할 수 있습니다$a\in \mathfrak{g}$ 단일 매개 변수 하위 그룹의 생성자 $G$ 일반적으로 $\mathbb{R} \ni t \mapsto \exp(ta) \in G$. 만약$a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{g}$ 벡터 기반을 형성하려면 $$[a_i,a_j] = \sum_k C^k_{ij}a_k\tag{1}\:,$$ 일부 실제 상수 $C_k^{ij}$. 이 상수 (거의)는$G$. 예를 들어$G=SO(3)$ 3D 회전 그룹, 단일 매개 변수 하위 그룹은 고정 축을 중심으로 한 회전이며 항상 선택할 수 있습니다. $C_k^{ij}= \epsilon_{ijk}$ (소위 리치 기호).
고전 물리학에서 하나는 Hamiltonian 공식 의 이론을 나타냅니다 . 상태는$2n$ 매끄러운 치수 매니 폴드 $F$선호하는 좌표 클래스를 갖는 위상 공간 이라고하며 , 표준은 다음 과 같이 표시됩니다.$q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_n$.
만약 $G$ 시스템의 대칭 그룹이면 충실한 표현이 있습니다. $G \ni g \mapsto \tau_g$ (표준) 변환 측면에서 $\tau_g : F \to F$ 변형에 따라 고전적 상태를 이동하는 $g$. 표현$G \ni g \mapsto \tau_g$ 는 다음의 무한소 설명과 엄격하게 유사한 무한소 표준 변환 측면에서 무한소 설명을 인정합니다. $G$ 거짓말 대수 측면에서 $\mathfrak{g}$. 이 경우에 대응하는 거짓말 대수는 평활 함수의 선형 공간입니다.$A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ 고전적인 관측 값과 Poission 브래킷 $\{A,B\} \in C^\infty(F, \mathbb{R})$.
거짓말 대수 사이에서 (실제로 중심적인) 동형이 발생합니다. $(\mathfrak{g}, [\:,\:])$ 그리고 유사한 거짓말 대수 $(C^\infty(F, \mathbb{R}), \{\:\:\})$이루어지는 물리량 여기서 정류자$\{\:\:\})$유명한 Poisson 브래킷 입니다.
만약 $a_k\in \mathfrak{g}$ 에 해당 $A_k\in C^\infty(F, \mathbb{R})$ 그리고 (1) 유효합니다 $G$, 다음 $$\{A_i,A_j\} = \sum_k C^k_{ij}A_k + c_{ij}1 \tag{2}$$ 추가 상수 $c_{ij}$중앙 요금 이라고 하는은 대표에 따라 다릅니다. $$a \mapsto A\tag{2'}$$ Lie 대수의 (사영 또는 중심) 동형을 정의합니다.
양자 설명으로 전달할 때 $G$유사한 수학적 구조가 존재하는 대칭 그룹입니다. 여기에서 (순수한) 상태의 공간은 복잡한 힐베르트 공간입니다. $H$ (순수) 상태는 정규화 된 벡터입니다. $\psi\in H$ 단계까지.
만약 $G$ (사영 / 중심) 단일 표현이있는 대칭 그룹 $G \ni g \mapsto U_g$ 단일 연산자 측면에서 $U_g : H\to H$. 매개 변수가 하나 인 하위 그룹$G$ 이제 지수 형식의 단일 그룹으로 표시됩니다 (요인을 체계적으로 무시할 것입니다). $1/\hbar$ 지수 앞) $$\mathbb{R} \ni t \mapsto e^{-it \hat{A}}\:,$$ 어디 $\hat{A}$ (고유하게 결정된) selfadjoint 연산자입니다.
다시 말하지만, (1)이 유효하고 $\hat{A}_k$ 에 해당 $a_k\in \mathfrak{g}$, 우리는 $$[-i\hat{A}_i,-i\hat{A}_j]= -i\sum_k C^k_{ij}\hat{A}_k -i c'_{ij}I \tag{3}$$ 어디 $[\:,\:]$연산자의 정류자입니다. 다시 말해$$a \mapsto -i\hat{A} \tag{3'}$$ Lie 대수의 (투영 적) 동형을 정의합니다.
나는 동형 (2 ')과 (3')이 독립적으로 존재하며 단지 다음과 같은 가정에 기인한다고 강조합니다. $G$ 시스템과 표현 이론 기계의 본질의 대칭 그룹입니다.
이 두 isomprphism을 사용하여 세 번째 isomorphism을 구성 할 수 있습니다. $c_{ij}=c'_{ij}$)는 고전적 영역과 양자 영역 사이를 보간합니다.
이런 식으로 $A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ 에 해당 $\hat{A} : H \to H$ (실제로는 적절한 조밀 한 도메인으로 제한해야 함) $$\{A,B\} \quad \mbox{corresponds to} \quad i[\hat{A},\hat{B}]\tag{4}$$ (2)와 (3)을 비교할 때. (나는 다시 요인을 무시했다$\hbar$ 내가 가정 한 이후 $\hbar=1$ 단일 매개 변수 단일 그룹의 지수 표현에서.)
이제 (4)가 고전과 양자 물리학에서 동일한 대칭 그룹이 존재할 때 정준 양자화 의 대응 원리 의 이유라는 것이 분명합니다 .
비 상대 론적 물리학에서 관련 대칭 그룹은 갈릴레오 그룹 입니다. 이것은 고전적 및 비 상대 론적 양자 물리학에서 중요한 역할을합니다.
그래서 우리는 고전적인 해밀턴과 양자 물리학 모두에서 거짓말 대수의 (중앙) 표현을 가져야합니다.
위의 논의를 바탕으로 우리는 갈릴레오 그룹의 동형 고전 및 양자 표현과 관련된 동형화 (고전적 수량을 정류 관계를 보존하는 해당 연산자에 연결하는 맵)에 소위 표준 양자화 절차를 포함 한다고 결론을 내 립니다.
이 사실을 자세히 설명하겠습니다. 거짓말 대수 $\mathfrak{g}$ 발전기 포함 $p$ 고전적인 해밀턴 이론에서 운동량 (번역 하위 그룹의 생성자)과 다른 생성자를 설명합니다. $k$ (클래식 부스트 하위 그룹의 생성기) 시스템의 질량에 해당하는 상수까지 위치에 해당 $m$.
세 가지 수준에 집중하겠습니다.
기하학적으로 $$[k,p]=0\:.$$ Hamiltonian 공식에서는 중앙 요금이 표시됩니다. $$\{k,p\}= m 1$$ 그래서 정의 $x:= k/m$, 우리는 $$\{x,p\}= 1\:.$$ 양자 물리학에서 위의 논의를 고려하여 해당 생성기 / 관찰 가능 항목을 찾아야합니다. $$[-i\hat{K},-i\hat{P}]= -im \hat{I}$$ 따라서 정의 $\hat{X}:= \frac{1}{m}\hat{K}$, $$[\hat{X},\hat{P}]= i \hat{I}$$
정류 관계를 보존하는이 대응은 다음으로 거짓말 대수를 설명하는 초기 몇 개의 관측 가능 항목에서 범용 포위 대수 라고하는 관측 가능 항목의 더 큰 대수로 확장 될 수 있습니다 . 갈릴레오 그룹의 거짓말 대수로 구성됩니다. 예를 들어 관찰 가능한 다항식을 포함합니다.
요약 : 고전 및 양자 물리학과 공통된 몇 가지 근본적인 대칭 그룹이 있습니다. 이 그룹은 참조 프레임의 개념으로서의 기본 개념과 상대성 원칙으로서의 기본 물리적 원리와 깊이 연결되어 있기 때문에 이론을 구성하는 데 사용되는 빌딩 블록입니다. 이 그룹의 존재는 고전 물리학과 양자 물리학 사이의 연결 고리를 만듭니다. 이 링크는 대칭 그룹의 거짓말 대수에 (투영) 동형 인 상기 그룹의 (투영) 표현의 정류자 구조를 통과합니다. 양자화 절차는이 근본적인 관계를 반영합니다. 다음으로 두 이론은 분리 된 방향을 따라 진화하며, 예를 들어 양자 이론에서는 고전적 대응없이 추가 대칭 그룹이 발생합니다.
대신 모든 수량을 연산자로 변환하는 규칙을 기반으로하는 고전 이론을 양자화하는 방법과 푸 아송 대괄호가 정류자로 변환되는 방법이 제공되었습니다. 저에게는 큰 비밀이 남아있는 것처럼 보입니다. 더 이상의 직관적 인 설명없이 이것이 우리 세계가 행동하는 방식이라고 믿기가 어렵습니다.
이 조리법은 지구상에서 처음 발견되었고 상황을 최적으로 설명했기 때문에 주어졌습니다. 사람들은 이런 식으로 가장 쉽게 물리적 현상에 대한 예측을 할 수 있습니다. 학교에서 당신과 내가, 그리고 대부분의 사람들이 처음에 정말로 불평하는 것은 정말로 두 가지 다른 것입니다 .
이상한 새로운 개념 : 확률 론적 예측, 불확실성, 간섭, 이산 에너지 스펙트럼 ...
힐베르트 공간 공식화, 선형 대수, 파동 함수, 그것들을 설명하는 이상한 미분 방정식, 해법, 역설, 선형 대수 스턴트; 개요에 따라 고전 역학에서 시작하는 대략적인 "경로"와 함께.
첫 번째에 대해서는별로 할 말이 없습니다. 그것은 자연의 사실이고, 세상은 직관적이든 아니든 이런 식으로 행동합니다. 놀랍게도 우리 분야의 지적인 영웅 세대의 축복받은 세대에 의해 1 세기 전에 제대로 파악되었습니다. 그러나 첫 번째 부분과 함께 개발 된 두 번째 부분은 피할 수 없습니다.
멀리 떨어진 다른 행성에서는 매우 다른 것으로 판명되었을 수 있으며 위상 공간 양자화 , 힐베르트 공간 및 정류자, 연산자 등을 피하는 대체 형식주의 및 경로로 대체 될 수 있습니다 . 이는 고전 역학을 "확장"합니다. 에 푸 아송 괄호 "수정"에 의해 Moyal 브라켓 별도의 추가,$\hbar$-연관 적으로 그들에게 의존하는 조각. (우리의 슬픈 행성에서 이것은 힐베르트 우주 공식화 이후 20 년이 지난 1940 년대에야 발견되었습니다. 공식화는 여전히 기술적으로 까다롭기 때문에 힐베르트 우주 공식화는 여전히 주류이고 정당하지만 cri-de-coeur ' 너 목소리 ...)
따라서 관찰 대상에 대한 새로운 운영자와 통근자 등 모든 종류의 문화적 어려움이 문화 충격에 추가되지 않습니다.
물론 궁극적으로 큰 엔 실라다는 1입니다. 심지어 고전적인 위상 공간 함수 관측 가능 항목조차도 일반적으로 특별한 별-제품 연산으로 구성되기 때문에 비 교환 성을 나타내며, 확률은 고전적인 위상 공간 흐름과 근본적으로 다른 방식으로 흐르고 누출됩니다. , 불확실성 원리는 힐베르트 공간 공식에서보다 훨씬 더 마법적이고 놀랍습니다. 그러나 그것은 또 다른 이야기입니다. 물론, 당신이 계산하고 예측하기를 바라는 것은 관찰 가능한 값의 기대 값뿐입니다. 이것이 1의 핵심입니다.
그렇다면 이런 방식으로 명확하게 양자화 할 수 있습니까? 당연히 아니지. 양자화는 미스테리 입니다. 지속적으로 많은 고전적인 시스템을 양자화하는 여러 가지 방법이 있습니다 (바일,이 제제의 대부. 그는 잘못 1927 년,이 경로를 따라, 양자화 참되고 유일한 방법을 찾을 거라고 생각), 그리고 아무도 더 이상 없다 rest 이지만 설명 된 특정 물리적 시스템에 따라 다릅니다. 일부는 한 가지 경로를 선택하고 다른 일부는 다른 경로를 선택합니다. (그러나 그들은 모두 동일한 고전적 한계를 가지고 있습니다.)
직감은 선물로받는 것이 아니라 경험을 통해 개발되어야합니다. 밝혀진 바와 같이, 양자 역학은 고전 물리학과 매우 다르기 때문에 후자에 대한 당신의 경험은 전자에 대한 그다지 유용한 직관으로 해석되지 않습니다.
고전 역학의 해밀턴 공식화에서 시스템의 상태는 위상 공간의 한 지점으로 표현되며 관찰 가능한 양은 다음과 같이 생각할 수 있습니다. $\mathbb R$위상 공간 변수 (예 : 위치, 운동량 등)의 값을 갖는 연속 함수. Stern-Gerlach 와 같은 실험 은 이러한 관점이 불충분하다는 것을 보여주었습니다.
SG 실험에서 관찰 가능한 스핀 각운동량이 양자화되어 정확하게 두 가지 측정 결과가 가능하다는 것을 발견했습니다. 이것은 고전적인 그림에서는 불가능합니다. 연속 함수는 전체 위상 공간을 매핑 할 수 없습니다.$^\dagger$두 개의 고유 한 숫자에. 또한, 하나의 관측 가능 항목의 측정은 물리적 관측 가능 항목을 단순한 기능으로 모델링하는 것으로 설명 할 수없는 방식으로 다른 관측 항목의 측정에 영향을 미칠 수 있습니다.
이로부터 우리는 다른 모델을 찾을 의무가 있습니다. 고전적인 측정 결과는 다음과 같은 연결 간격의 형태를 취합니다.$\mathbb R$. 양자 측정은 이러한 결과를 산출 할 수 있지만, 이산 값 (SG, 원자 스펙트럼 라인 측정 등) 및 단절된 간격 (예 : 고체의 밴드 구조 참조 )을 생성 할 수도 있습니다. 이러한 가능성은 일부 Hilbert 공간에서 자기 인접 연산자로 관측 값을 모델링하여 설명 할 수 있으며, 가능한 측정 결과 는 해당 연산자 의 스펙트럼 에 의해 제공됩니다 . 이것은 양자 역학의 표준 공식화에 의해 채택 된 POV입니다.
이 관점을 채택한 후에도 어떤 연산자가 어떤 관찰 가능 항목을 나타내는 지 결정하는 분명한 방법이 아직 없습니다. 표준 양자화 절차는 궁극적으로 (물리적으로 동기 부여 된) 추측입니다. 이중 슬릿 실험과 같은 실험은 간섭 효과를 일으킬 수 있는 공간적으로 변화하는 파동 함수 의 존재를 시사합니다 . 이 파동 함수 의 Born 해석 은 공간 확률 진폭입니다.$\psi$ 그런 $\int_a^b |\psi(x)|^2 dx$ 간격에있는 입자를 측정 할 확률을 산출합니다. $[a,b]$.
여기에서 상대적으로 자연스럽게 관찰 할 수있는 위치의 동작을 정의 할 수 있습니다. 파동 함수에 대한 동작은 간단히 곱하기 $x$. 이것은 가능한 위치 측정의 정확한 스펙트럼을 산출하고 "예상 값"은 단순히 공간 확률 분포의 평균입니다.
운동량 연산자의 정의는 좀 더 까다 롭지 만 고전적인 해밀턴 역학에 존재하는 관측 값의 대수적 구조를 조사하여 동기를 부여 할 수 있습니다. 관찰 할 수있는 운동량은 공간 변환의 극소 한 생성기입니다. 양자 이론에 동일한 구조를 적용하면 미분 연산자 측면에서 운동량 연산자의 정의가 생성됩니다.$\psi(x)$.
그러나 앞에서 언급했듯이 표준 양자화 (및 다른 양자화 절차)는 궁극적으로 추측입니다. 시스템의 측정은 관심있는 물리적 관측 물의 특성에 대한 단서를 제공하며, 이는 다시 구축 된 힐베르트 공간에 단서를 제공합니다. 그런 다음 관련 모델을 구성하고, 예측하고, 추가 실험과 비교하고, 모델이 시스템이 어떻게 작동할지 정확하게 예측하기에 충분한 지 평가합니다.
$^\dagger$이것은 스핀 각운동량의 다른 가능한 값에 해당하는 두 개의 별개의 조각으로 구성된 위상 공간이 분리 된 경우에만 가능합니다. 그러나 회전 불변성은 이것을 배제하고, 다른 축을 따라 스핀 측정의 비 정류는이 아이디어의 관에 더 많은 못을 제공합니다.
더 근본적인 것으로 여겨지는 양자 역학이 고전 이론을 사용하여 구성된다는 것은 매우 이상합니다. 논리는 약간 거꾸로되어 있지만 이런 식으로 수행되는 이유가 있습니다. 표준 양자화는 양자 이론이 적절한 고전적 한계에 접근하도록 보장합니다.
순전히 양자적인 방식으로 양자 역학을 설명하려는 시도가 있었지만, 그것은 항상 이론이 가지고있는 상태의 스펙트럼을 나타내는 것에 해당합니다. 당신이 나에게 물어 보면 조명이 너무 밝지 않습니다.
예를 들어, 다양한 에너지와 각도에서 입자가 산란 될 확률을 설명하는 S- 매트릭스만을 사용하여 양자 장 이론을 공식화하려는 시도가 있습니다. 그러나 이론을 정의하는 것은 그 확률이 무엇인지를 설명하는 것과 같습니다. (정규 양자화를 사용하지 않는 한) 그 확률을 줄 수있는 방정식은 없습니다. 질량이없는 입자를 적절하게 설명 할 수 없기 때문에 S- 매트릭스 공식에 내재 된 문제도 있습니다.
무한한 수의 상태를 나열하는 대신 유한 한 방정식 세트에서 결정된 양자 이론의 상태 스펙트럼을 갖는 것이 유용합니다. 이것이 표준 양자화가 널리 사용되는 이유입니다.
문제는 양자 역학을 이해하는 데있어 근본적인 문제가 엄격하게 논리적 인 관점에서 거꾸로 제시된다는 것입니다. 우리는 고전 물리학에 대한 이해로 시작하여 양자 물리학을 발견하고 싶습니다. 그러나 덜 근본적인 이론에서 더 근본적인 이론을 도출 할 수는 없습니다. 다른 한편으로, 양자 역학에서 고전 물리학을 유도하는 것은 하나만 올바르게 공식화하면 가능합니다. 그러나 그렇게하기 위해서는 먼저 양자 역학의 올바른 공식을 가져야합니다.
역사적으로 표준 양자화는 Dirac (이를 도입 한 사람)이 양자 역학의 정확한 수학적 공식을 확립 할 수있게했기 때문에 중요했습니다. 논리적 논증은 반대 방향으로 작용하기 때문에 논리적으로 그렇게 중요하지 않습니다.
Dirac과 von Neumann은 Dirac–von Neumann 공리를 기반으로 문제에 접근하는 또 다른 방법을 제공했습니다 . 수학적 관점에서 볼 때 이러한 공리는 더 만족스럽고,이를 부과하는 대신 표준 양자화 관계 (힐버트 공간의 속성에서)를 도출 할 수 있습니다. 이것은 "왜 힐베르트 공간을 사용해야 하는가?"라는 질문을 바꾼다. 이 질문은 실제로 폰 노이만 (von Neumann) 에 의해 답변 되었지만, 폰 노이만 (von Neumann)이 잘하지 못한 것은 인간에게 수학을 설명하는 것이 었습니다. 이 책은 거의 읽을 수 없으며 "양자 논리"를 해명하려는 추가 시도는 그다지 좋지 않습니다.
나는 양자 역학의 수학적 구조가 무엇을 의미 하는지를 명확히하기 위해 내 논문 The Hilbert space of conditional clauses를 썼고 , 이것이 더 직관적 인 이해를 해주기를 바랍니다. 나는 이것에 대해 확장하고 내 책에 필요한 세부 사항을 작성했습니다 (프로필 참조).
고전적인 분야를 양자화하는 것은 일반적으로 양자 역학을 도입하는 교육 학적으로 가장 쉬운 방법입니다. 하지만 정말 마술 같은 느낌이 듭니다. 반면에 고전적인 분야를 도입하지 않고도 QM을 도출 할 수 있습니다. 이를 수행하는 핵심은 QM의 경로 적분 공식을 사용하는 것입니다.
고전 역학에서는 변형 원리, 즉 고전적 동작을 최소화하여 Euler-Lagrange 방정식 또는 Lagrange 운동 방정식을 유도 할 수 있습니다. 유사하게 경로 적분 공식에서는 양자 장 방정식을 유도하기 위해 양자 작용을 최소화합니다. 이것은 중간 클래식 필드를 정의 할 필요없이 수행됩니다.
중요한 점은 경로 적분 공식이 표준 양자화 접근 방식과 동일하다는 것입니다. 그러나 전자는 적어도 개념적으로 QM을 도입하는 더 자연스러운 방법처럼 느껴집니다.
그러나이 접근 방식에는 약간의 코끼리가 있습니다. 경로 적분 자체는 수학적으로 잘 정의되어 있지 않습니다. 즉, 수학적 관점에서 경로 적분을 엄격하게 정의 할 수있는 광범위하고 잘 정의 된 방법이 없습니다. 하지만 물리학 자들은 신경 쓰지 않는다 : D
TL, DR
QM의 경로 통합 공식을 살펴볼 것을 제안합니다
https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation