정확히 하나의 오른쪽 역은 반전을 의미합니까?

Question

I know that in a ring with identity $R$, 만약 $a$ 정확히 하나의 오른쪽 역을 가짐 $b$, 다음 $a$뒤집을 수 있습니다. 과연:

$$a(ba-1+b)=aba-a+ab=a-a+1=1,$$

그래서 $ba-1+b=b$, 따라서 $ba=1$.

그러나 모든 모노 이드, 즉 모노 이드에서 여전히 사실입니까? $X$, $a$ 정확히 하나의 오른쪽 역을 가짐 $b$, 그러면 $a$ 뒤집을 수 있습니까?

만약 $X$유한하다면 대답은 '예'입니다. 사실, 유한 모노 이드에서$X$, 만약 $a$ 약간의 반대가있다 $b$, 다음 $x\mapsto xa$ 주입 함수입니다 $X$ 그 자체로, 그래서 유한 $X$ 이 기능은 추측 적이므로 $c$ 그런 $ca=1$따라서 $a$ 뒤집을 수 있습니다.

Answer 1

대답은 monoids의 "아니오"입니다. ( bicyclic ) monoid를 고려하십시오$B$ 2 개의 함수로 생성 $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. 함수$p$ 변화입니다 : $p(n)=n+1$. 함수$q$ 의 의사 역 $p$: $q(n)=n-1$ 만약 $n>1$ 과 $q(1)=1$. 그때$pq=1$ ($p$ 먼저 행동) 그래서 $q$ 의 정반대 $p$. 이로부터 모든 요소가$B$ 형태가있다 $q^kp^m$ 음이 아닌 정수의 경우 $k,m$. 이것은 또한 쉽게 암시합니다$p$ 다른 권리 역이 없습니다 $B$. 그러나$p$ 이후 역이 없습니다 $qp\ne 1$.