정삼각형에 내포 된 무한 원의 총 면적.

Aug 15 2020

더 큰 원의 반경이 1이라는 점을 감안할 때 위 그림에서 무한 원의 전체 면적은 얼마입니까?

이 사이트 의 단계에 따라 문제의 일부를 해결하는 방법을 알고 있습니다 .

그러나 문제는 나머지 원입니다. 나는 데카르트 정리 의 특별한 경우 (원 중 하나가 선인 경우)를 사용하여 대수를 만들려고했지만 시리즈를 작성하고 합계를 찾을 패턴을 찾지 못했습니다.

아래 그림에서 빨간색으로 표시된 나머지 원의 영역을 어떻게 찾을 수 있습니까?

답변

2 Chrystomath Aug 15 2020 at 17:42

포드 서클 이론에 따르면 터치 서클은$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$

주어진 문제의 경우, 각 원은 두 개의 고유 한 큰 원과 접촉합니다. 세트의 한 가지 (원의 3 분의 1)에만 집중하면 중심 원은 반경을 갖습니다.$1$ 다음으로 큰 원에는 반지름이 있습니다. $1/3$유사성으로. 접촉하는 원에는 반경이 있습니다.$1/(1+\sqrt3)^2$ 위의 공식으로.

각 원은 한 쌍의 정수로 나타낼 수 있습니다. $(m,n)$ 부모 지수의 합이고 반경이 $r_{n,m}$ 주어진 $\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, 위의 공식을 사용합니다. 다음 다이어그램은 가장 큰 원에 의해 생성 된 원의 한 계열을 나타냅니다.$(1,0)$ 다음으로 큰 $(0,1)$. 트리의 각 정점은 원 사이의 공간을 나타내고 각 모서리는 두 원에 닿는 접선을 나타냅니다.

$\hspace{2cm}$

왼쪽에있는 다음 패밀리는 다음에 의해 생성됩니다. $(0,1)$$(3,0)$ 삼각형의 중심에서 왼쪽 꼭지점으로가는 선의 중심이있는 각 원은 반지름을 갖기 때문입니다. $1/3^n$ (대표 $(3^{n/2},0)$ 또는 $(0,3^{(n-1)/2})$).

표 작성 $1/\sqrt{r_{n,m}}$ 첫 번째 서클 가족은 다음을 제공합니다.

가족 1 : $$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$

다음은 이러한 쌍을 생성하기위한 Mathematica 스크립트입니다.

level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)

(중앙 원이 제거됩니다.)

첫 번째 가족의 ​​면적에 대한 수치는 다음과 같습니다. $A_1\approx0.4550$.

나머지 패밀리는 확장 된 버전이기 때문에 첫 번째 패밀리와 유사합니다. 예를 들어, 두 번째 패밀리는$(3,0)$$(0,1)$, 따라서 크기가 가족 1의 3 분의 1 (및 면적에서 9 분의 1)입니다.

따라서 한 지점의 총 면적은 $B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.

전체 면적에 대한 필수 답변은 다음과 같습니다. $3B+\pi$, 중앙 원을 추가합니다. 이 영역의 수치 근사값은 다음과 같습니다.$4.68$, 끝났습니다. $90\%$ 전체 삼각형의.