정수가 아닌 계수를 갖는 정수 다항식과 합리적 다항식의 합성이 정수 다항식이 될 수 있습니까?

Question

두 개의 다항식을 찾을 수 있습니까? $p(x)$ 과 $q(x)$, 어디 $p(x)$ 정수에 대한 비 상수 일원 다항식이며 $q(x)$ 적어도 하나의 정수가 아닌 계수를 갖는 합리적 다항식이며, 그 구성은 $p(q(x))$정수에 대한 다항식입니까? 그렇지 않다면 어떻게 증명해야합니까?

예를 들어 $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ 과 $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, 다음 $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, 그래서 어떤 정수 든 $a_i$우리가 선택하면 결과 다항식은 정수가 아닌 계수를 갖습니다. monic 조건이 중요합니다. 그렇지 않으면 곱할 수 있습니다.$p(x)$모든 계수가 정수임을 보장하는 정수로. 나는 다음 공식을 따라야한다고 믿는 일반 다항식에 대한 구성의 계수를 보려고했습니다.

\ begin {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (여기$a_i$ 과 $b_i$ 계수입니다 $p(x)$ 과 $q(x)$ 학위와 함께 $n$ 과 $m$, 각각). 그러나 정수가 아닌 수를 제공한다는 것을 증명하기 위해 어떤 계수에 초점을 맞출 것인지는 전혀 명확하지 않습니다.

이것은 해결하려고 할 때 발생했습니다. https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial하지만 그 자체만으로도 충분히 흥미로워 보입니다.

Answer 1

사실, 우리는 다음과 같은 가정을 무시할 수 있습니다. $q$모닉입니다. 구성$p \circ q$ 모든 정수 계수를 가질 수는 없습니다.

렛 $p$ 계수의 완전히 단순화 된 분모의 소인수 $q$. 가장 큰 것을 고려하십시오$k$ 성 $p^k$ 의 일부 분모의 요인입니다 $q$계수. 그런 다음 다항식을 작성하십시오.$q$ 같이 $x^j w(x) / p^k + s(x)$, 여기서 완전히 단순화 된 모든 분자 $w(x)$ 나눌 수 없습니다 $p$ 완전히 단순화 된 분모는 없습니다. $s(x)$ 나눌 수있다 $p^k$, 그리고 어디 $w$0이 아닌 상수 항이 있습니다. 분모를 다음으로 나눌 수있는 모든 용어를 그룹화하여이를 수행하십시오.$p^k$, 획득 $x^j w(x) / p^k$, 분모가로 나눌 수없는 모든 용어 $p^k$, 획득 $x(x)$.

허락하다 $n$ 정도이다 $p$, 계수를 고려하십시오 $x^{jn}$ 에 $p \circ q$. 기여하는 요약 중 하나는$w(0)^n / p^{kn}$, 완전히 단순화되었습니다. 그리고 다른 어떤 합계도 분모를 다음으로 나눌 수 없습니다.$p^{kn}$. 따라서이 계수는 정수가 아닙니다.