증가하는 함수에 도함수가 있음을 보여줍니다. $0$ ae

Aug 18 2020

허락하다 $0<p<1$ 정의 $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ 으로 $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ 어디 $q=1-p$. 나는 그것을 증명하고 싶습니다$F'(x)=0$ ae

저는 Kyle Siegerst의 "How to Gamble If You Must"를 통해 작업하고 있습니다. 기본적으로 일련의 연습 문제입니다.$F(x)$ 도박꾼이 자금으로 시작할 확률입니다. $0\leq x\leq 1$ 그의 목표에 도달 할 것입니다 $1$그가 빨간색과 검은 색의 게임에서 "대담한 플레이"를한다면. 그의 자금이$\leq\frac12$ 그는 모든 것을 베팅하고 확률로 베팅 금액을 이깁니다. $p$, 그리고 확률로 잃는 $q$. 그의 자금이$>\frac12$, 그는 목표에 도달 할 수있을만큼만 베팅합니다. $1-x$.

연습에서 나는 독특한 기능이 있음을 보여 주었다 $F$위의 함수 방정식을 만족하고 연속적이고 엄격하게 증가합니다. 운동 후$33$, 저자는 $p\neq\frac12$, $F'(X)=0$ ae, 그래서 $F$악마의 계단입니다. 나는이 진술을 증명하려고 노력하고있다. (증가하는 기능은 미분 할 수 있다는 것을 알고 있습니다. ae 제가 고민하고있는 가치입니다.)

막연한 $50$측정 이론에 대한 오래된 기억은 저를 Folland의 "Real Analysis"에서 발의안 3.31로 이끌었습니다.

만약 $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ 게다가, $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ ae 및 $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $

여기 $m$ Lebesgue 측정 값이고 ae는 Lebesgue 측정 값에 관한 것입니다. $\mu_F$ 다음에 의해 정의 된 Borel 측정 값입니다. $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$. Folland 용도$NBV$ 그 의미 $F$ 한정된 변형입니다. $F(-\infty)=0$ 과 $F$연속적입니다. 확장 할 수 있으므로 문제가되지 않습니다.$F$ ...에 $\mathbb{R}$ 정의함으로써 $F(x)=0$ ...에 대한 $x<0$ 과 $F(x)=1$ ...에 대한 $x>1$.

그래서 그것은 보여주는 것으로 내려온 것 같습니다 $\mu_F\perp m$. 이것은$E\subset[0,1]$ 와 $m(E)=0$ 과 $\mu_F(E)=1$내가 틀리지 않는 경우. 이것을 증명하는 방법을 모르겠습니다. 사실 그것은 나에게 전혀 그럴 것 같지 않다. 그래서 나는 무언가를 오해해야만한다.

연습 문제 29에서 나는 $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ 어디 $x_i$ 비트 번호 $i$ 의 $x$, 및 $p_0=p,\ p_1=q$. (언제$x$ 이성적 합리적이며, 우리는 종결 대표를 취합니다.) $1$ 및 손실 $0$, 이것은 도박꾼이 자신의 뱅크 롤의 비트가 해당 게임 비트와 일치하는 경우에만 목표에 도달한다는 것을 의미합니다. $1$. 이것은 가장 구체적인 표현입니다$F$ 논문에 있지만 어떻게 도움이되는지 모르겠습니다.

저를 위해 이것에 어떤 빛을 비출 수 있습니까?

답변

4 shalop Aug 21 2020 at 15:27

먼저 $F$ 랜덤 변수의 cdf입니다. $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ 어디 $\xi_n$ 베르누이$(p)$랜덤 변수. 실제로$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$, 어디 $Y$ 분포가 $X$ 그리고 독립적입니다 $\xi_1$. 이것은 관계를 제공합니다$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ 정확히 관계입니다. $F$.

이제 많은 수의 강력한 법칙에 주목하십시오. $X$ 이진 확장이 점근 밀도를 갖는 실수 세트에서 지원됩니다. $p$ 의 $1$의 (또는 동등하게 점근 밀도를 가짐 $q$ 의 $0$'에스).

그러나 이러한 모든 실수의 집합은 Lebesgue 측정 값이 0입니다. 실제로 실수를 균일하게 샘플링하면$[0,1]$, 이진수는 iid Bernoulli입니다.$(1/2)$, 따라서 거의 확실하게 점근 밀도 $1$의는 $1/2$, 아닙니다 $p$.