증명 $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$
MO에서 일반화 된 초기 하 시리즈에 대한 흥미로운 문제를 발견했습니다 .
$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$
이것은 수치 적으로 동의하지만, 초기 하 함수의 기본 속성 (예 : 순환 합계)이나 고전적인 감마 공식 (예 : Dougall 공식)을 사용하여 증거를 찾지 못했습니다. 나는 그것이 모듈 형태와 타원과 관련이 있다고 확신합니다.$K$ 적분이지만 정확한 관계는 아직 파악하기 어렵습니다.
이 신원을 증명하는 방법 ? 그 동기는 무엇입니까? 증명 방법을 사용하여 고차 초기 하 시리즈에 대한 다른 감마 평가를 생성 할 수 있습니까? 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
허락하다 $S$ 주어진다 $_4F_3$, 다음 (첫 번째 평등은 용어 통합에서 나옴), $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$
쉽게 볼 수 있습니다 $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ 의 가치입니다 $_3F_2$ ...에서 $a=0$( 딕슨 ). 세트$$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$
다 변수 체인 규칙에 따라 $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$
일반적으로 $_pF_q$매개 변수와 관련하여 다루기 어렵습니다. 임시 방식으로 만 처리 할 수 있습니다 . 우리 상황에서는$_3F_2$ ...에서 $1$특정 변환을 충족 합니다 . 여기 에서 두 개의 생성기가 첫 번째 및 세 번째 항목 입니다. 이 두 항목을 사용하여$$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$
네 가지 모두에 대해 $_3F_2$ 위의 주장은 모두 다음과 같습니다. $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$, 유일한 차이점은 $a$다른 장소에 나타납니다. 이것은 이유를 보여줍니다$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ 특별합니다.
운영 정의 소개 : 쓰기 $x\equiv y$ 만약 $x-y$"감마 인자의 선형 조합"입니다. 예를 들면$x\equiv y$ 만약 $x-y = A$. 이제 미분$a=0$, 우리는 $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ 이 시스템을 해결하면 $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$
그러므로 $d_{1/3}+d_{4/3}$ 감마 함수로 표현할 수 있으므로 $S$ 에 따르면 $(*)$.
만드는 데 어려움이 없습니다 $(**)$ 명백한: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$
해결 제공 $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$. 우리는 또한$d_1, d_{2/3}$ 부산물로.
와, 놀랍습니다! 9 년 후 해결! 이 문제를 찾아 내고 해결 해주셔서 감사합니다. 이것은 일반적인 형태를 줄 수 있습니까?
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$
나는 아마도 이것에 대한 동기를 부여해야 할 것입니다. 다음 논문에서, 나는 0에서 시작하는 평면 브라운 운동의 예상 종료 시간을 정규$m$-gon 중심 0 :
https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013
그것은 (다각형의 크기에 따라 달라지는 상수까지)
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$
혀에서 정확히 굴러 떨어지지 않습니다. 그러나 정삼각형의 경우 이것을 계산하는 다른 방법이 있으며$1/6$. 그래서 우리는 둘을 동일시함으로써 정체성을 얻습니다. 그것이 바로 정체성입니다. 이제 질문은이 방법을 사용하여$_4F_3$ 더 큰 $m$? 그러면 정규식에서 브라운 운동의 예상 종료 시간에 대한 더 좋은 표현이 될 것입니다.$m$-곤.
이 모든 것에 대한 순전히 분석적 (즉, 확률 적이 지 않은) 버전은 여기서 찾을 수 있습니다. 예상되는 종료 시간은 기본적으로 도메인의 Hardy H ^ 2 표준이며 최대 상수이기 때문입니다.
https://arxiv.org/abs/1205.2458