증명 / 반박 : $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ ...에 대한 $A \geq B$

Question

나는 다음을 증명하려고 노력했습니다. $A \geq B$, 둘 다 양의 정수입니다. $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$$ 그것이 사실인지 확실하지 않습니다. 지금까지 반례를 찾을 수 없습니다. 누구나 아이디어가 있습니까?

Answer 1

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ 참고 $\f{A/B} \leq \c{A/B}$, 그래서 : $$ A - \f{A/B} - \c{A/B} \leq A - 2\f{A/B} \\ (\f{A/B} + 1)B = \f{A/B}B + B \geq (A/B - 1)B + B = A $$ 따라서 불평등은 분명히 다음과 같이 유지됩니다. $\f{A/B} > 0$.

Answer 2

$A\ge B\implies\lfloor A/B \rfloor\ge 1$ 과 $\lceil A/B \rceil\ge 1$ $$A-\lfloor A/B\rfloor - \lceil A/B \rceil <A=A/B\times B\le \lceil A/B\rceil \times B \le (\lfloor A/B \rfloor +1)\times B$$

이후 마지막 불평등이 유지되는 곳 $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor $ 만약 $A$ 나눌 수있다 $B$, 그렇지 않으면 $A/B$ 정수가 아니고 $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor +1$.