증명 / 반박 : $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$ ...에 대한 $A \geq B$

Question

에 대한 $A \geq B$, 둘 다 양의 정수입니다. 다음이 사실입니까? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

나는 매우 유사한 질문을 증명하는 데 사용되는 기술을 시도했습니다. Prove / Disprove :$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ ...에 대한 $A \geq B$

그러나 이것을 증명하는 데 효과가 없었던 것 같습니다. 나는 또한 임의의 A와 B를 경험적으로 생성하려고 시도했지만 반례를 찾을 수 없습니다.

Answer 1

$\newcommand{f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$ 허락하다 $B = 100$ 과 $A = 199$. 그러면 : \ begin {align *} LHS & = 199-1-2 = 196 \\ RHS & = 1 (100 + 1) = 101 \ end {align *} 따라서 부등식은 거짓입니다.

---

편집 : OP의 의견에 대한 응답으로 더 제한한다고 가정합니다.$\f{A/B} \geq N$ 일부 $N \in \Bbb{Z}^+$. 허락하다$B = 3N + 3$, 그리고 $A = (N + 1)(3N + 3) - 1$. 분명히$A \geq B$ 과 $\f{A/B} = N$. \ begin {align *} LHS & = (N + 1) (3N + 3)-1-N-(N + 1) \\ & = (N + 1) (3N + 1) \\ \ end {align * } \ begin {align *} RHS & = N (3N + 4) \\ & = N (3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1)-(3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1)-1 <LHS \ end {align *} 따라서 불평등은 여전히 ​​실패합니다.