증명 확인 및 이해 필요

Nov 28 2020

연습 1의 결과를 사용하여 A가 무한하고 B가 유한하고 B가 A의 유한 부분 집합인지 증명하면 A \ B가 무한대입니다.

연습 1 A, B를 분리 된 유한 집합이라고합시다. 그리고 A≈m. 그리고 B≈n, A ∪ B ≈ m + n. 두 유한 집합의 합집합이 유한하다는 결론을 내립니다.

참고 : 문제는 핀터의 집합 이론 책에서 비롯됩니다.

증명 시도 (Caveat Lector : 독자가주의하십시오 ... 무한 세트에 대한 지식이 불안정합니다. 유도 및 매핑을 사용할 수 있습니다.)

나는 연습 1을 증명했다. (전체 재 작성)

A = (A \ B) 쓰기$\cup$ B (1)

사용 $A \cup B $ 연습 1에서 우리는 A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

이제 A에 셀 수있는 부분 집합 B가 있고 A가 유한하다고 가정합니다. 즉, A ≈ n, B ⊆ A 및 B ≈ ω입니다. 그래서 B$\subset$(A \ B)$\cup$ 비.

A는 무한대이므로 A \ B는 유한 할 수 없습니다.$\in$A \ B 다음에 a$\in B^{c}$ 그때 $B^c$ B는 유한하기 때문에 모순 인 무한하다

따라서 A / B는 무한합니다

도움

답변

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

몇 가지:

$A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. 그러므로$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ 모든 요소를 결합 할 이유가 없습니다. $B$ 교차하여 제거하기 전에 $B^\complement$.
추론

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

그래서 $A\setminus B$ 과 $B$ 분리되어 있습니다.

당신이 얻을 수있는 모든 논쟁 "$A\setminus B$ 과 $B$ 분리되어있다 " $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ 귀하의 진술에서 훨씬 더 쉽게 작동합니다 (2). $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. 또는 더 쉽게 (내가 가정하는 것은 Pinter가$A\setminus B$) : $A\setminus B = A\cap B^\complement$. 당신은 분명히 잘못된 방향으로 향하고 있었고, 당신의 독자가 똑같이 길을 잃고 당신이 실제로 무언가를 시연했다고 가정하기를 바라면서 가짜로 결정한 것 같습니다.

그 $A\setminus B$ 과 $B$서로 엇갈린다는 것은 너무나 명백해서 증명할 필요가 있는지 의문의 여지가 있습니다. 내가 준 set-builder 정의에 따르면$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, 따라서 $x$ 둘 다 $A\setminus B$ 과 $B$. "집합 대수"증명을 주장한다면$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

자신의 가정을 추적하지 않습니다.

이제 $A$ 셀 수없는 하위 집합이 있습니다. $B$ 과 $A$유한하다 ; 그건,$A \approx n, B \subseteq A$, 및 $B \approx \omega$. 그래서$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$A는 무한하기 때문에 유한 할 수 없습니다 ...

또한, 나머지 논쟁에서 위의 항목을 사용하지 않는데 왜 언급 했습니까? 당신이 사용한 유일한 것은$A$ 무한하다, 이것은 정리의 가설이다.

만약 $a\in A\setminus B$ 그때 $a\in B^\complement$ 그때 $B^\complement$ 무한한 모순입니다 $B$ 유한합니다.

나는 당신이 그것을 보여주고 있다고 가정합니다 $A\setminus B \subseteq B^\complement$, 실제로 의미하는 $B^\complement$무한합니다 (무한 서브 클래스가있는 클래스 자체가 무한하다는 것이 이미 입증되었다고 가정). 그러나$B^\complement$ 무한한 것은 어쨌든 모순되지 않습니다 $B$유한하다. 사실 모든 유한 집합의 보완은 무한합니다. 집합의 보완은 핀터의 집합 이론에 따라 집합이 아닙니다. 적절한 클래스이며 적절한 클래스는 항상 무한합니다.

이를 증명하기 위해 연습 1을 사용하려면 모순에 의한 증명이 필요합니다. 그러나 당신이 증명하려는 것은 "$A\setminus B$ 무한대입니다. "라는 가정은 반대입니다."$A\setminus B$ 모순에 도달하면 그 가정이 거짓임을 의미합니다.$A\setminus B$ 유한하다 "는 거짓이고 그 반대"$A\setminus B$ 무한하다 "는 사실입니다.