증명 이해 $v\in S$ 그런 $v\in\text{span}(S\setminus \{v\}) \implies S$ 선형 의존적입니다.

Question

그래서 나는 다음 정리의 반대에 대해 Titu Adreescu가 제시 한 증거를 이해하려고 노력하고 있습니다.

허락하다 $S$ 일부 벡터 공간에있는 벡터 집합 $V$. 그때$S$ 다음과 같은 경우에만 선형 의존적입니다. $v\in S$ 그런 $v\in\text{span}(S\setminus\{v\})$

그 반대의 증거는 다음과 같습니다.

거기에 있다고 가정하십시오 $v\in S$ 그런 $s\in\texttt{span}(S\setminus \{v\})$. 그것은 우리가 찾을 수 있음을 의미합니다$v_1, v_2, \dots, v_n \in S\setminus v$ 및 스칼라 $a_1, \dots, a_n$ 그런 $v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ 하지만 $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ 및 벡터 $v, v_1, \dots, v_n$선형 의존적입니다. 이후$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$, 그것은 다음과 같습니다 $S$ 선형 의존적 인 유한 부분 집합이 있으므로 $S$선형 의존적입니다. 결과는 다음과 같습니다.

이제 대부분의 증명을 얻었지만 S가 다음으로부터 선형 의존적이라는 결론을 내리는 것으로 충분하다고 생각합니다. $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ 그러나 Titu가 가서 주장 $S\setminus \{v\}$ 선형 종속 하위 집합입니다. $S$ (나는 그것이 어떻게 따르는 지 이해하지 못합니다. $v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$)를 사용하여 결론을 내립니다. $S$ 선형 종속 하위 집합을 갖는 것은 S가 선형 종속임을 의미합니다.

이 증거를 이해하도록 도와주세요. 감사합니다.

Answer 1

허락하다 $v\in S$ 그런 $v\in \text{span}(S \setminus \{{v}\})$ 그래서 존재한다 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 그런

$$ v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, v_i \in S \setminus \{v\} $$

나는 사실이 $v \notin \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 실제로 그것을 보는 역할 $\{v,v_1,\ldots,v_n\}$선형 의존적입니다. 왜?$v_i=v$ 가정하다 $v_1$ 당신은 가지고

$$ (1-\alpha_1)v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0 $$

그리고 당신은 말할 수 없었습니다 $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 선형 의존적입니다.

그러나 나는 그것이 명백하다고 생각합니다 $\{v,v_1,\ldots,v_n\} \subseteq S$ 그들은 이미 당신에게 말하고 있기 때문에 선형 의존적입니다 $v_i \in S \setminus \{v\}$.

만약 $S$ 부분 집합이 선형 의존적이며 $S$ 선형 의존적입니다.