증명 $x^2$ 균일하게 연속적이지 않음

Aug 19 2020

우리는 알고 있습니다 $f(x)=x^2$ 함수로서 균일하게 연속적이지 않음 $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. 사실,하자$\epsilon=1$. 어떠한 것도$\delta>0$, 우리는 선택할 수 있습니다 $\alpha>0$ 충분히 큰 $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. 그런 다음 설정하면$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ 우리는 찾는다 $|x-y|<\delta$, 아직 $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. 따라서$\epsilon-\delta$ 균일 한 연속성의 정의가 부정되고 $f$ 균일하게 연속적이지 않습니다.

이제 $X\subset\mathbb{R}$ 공개 된 무제한 세트입니다. 어떻게 증명할 수 있나요? $f:X\rightarrow [0,\infty)$균일하게 연속적이지 않습니까? 위와 비슷한 절차를 시도했지만 작동하지 않았습니다. 제가 겪고있는 어려움은$y=\alpha+\delta/2\in X$, 때문에 $X$ 개방 간격이 좁은 개방형 무제한 세트가 될 수 있습니다. $x$ 예를 들어 증가 $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

위의 것을 감안할 때 위의 증명을 수정하는 방법이 있습니까? $f:X\rightarrow [0,\infty)$케이스? 나는 단지 증명을받는 데 관심이 없지만, 증명이 어떻게 수정 될 수 있는지 또는이 경우 수정할 수 없는지 알고 싶었습니다.

답변

4 StephenMontgomery-Smith Aug 19 2020 at 11:04

사실이 아닙니다. 중히 여기다$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. 다음 경우에 유의하십시오.$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, 다음 $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ 주어진 $\epsilon > 0$, 선택 $N > \frac3\epsilon$. 만약$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$, 및 $|x-y| < \tfrac12$, 다음 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. 이후$f(x)$ 균일하게 연속 $[0,N+1]$, 우리는 찾을 수있어 $\delta > 0$$\delta < \tfrac12$ 그런 경우 $x,y \in [0,N+1]$, 다음 $|x-y| < \delta$ 암시 $|f(x) - f(y) < \epsilon$.