집합 이론에서이 진술을 증명하는 방법은 무엇입니까?

Question

증명해야합니다 $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$

증명하는 동안 분포를 사용하고 왼쪽 방정식 세트의 양쪽을 교차하려고했습니다. $\bar{B}$. 그것은 작동합니다$\Rightarrow$,하지만 확실하지 않음 $\Leftarrow$

내 마음이 틀렸다면 적어도 1 개의 힌트를 얻는 것이 좋을 것입니다. 조언에 감사드립니다

Answer 1

1. 취하다 $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$ 보유하고 보자 $x \in C$. 그때$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$ 그러므로 $x\in A$.

2. 만약 $C \subset A$, 다음 $A\cap C=C$ 그래서 $$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$

Answer 2

„$\Rightarrow$” $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$. 따라서$A\cup C=A$, 그리고 우리는 C가 A에 있음을 얻습니다. „$\Leftarrow$”. 만약$C$ 에 $A$, 다음 $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$, 그리고 모두 완료되었습니다.

Answer 3

$ \Leftarrow $훨씬 쉽습니다. 만약$ x \in LHS $ 그때 $ x \in RHS $그 반대. 사실을 사용하여$ C \subset A $, 고려해야 할 사례가 많지 않습니다.