집합 이론의 개발에 푸리에 분석이 어떻게 중요 했습니까?
최근에 다음 인용문을 읽었습니다 (불행히도 귀속없이 복사했습니다).
집합 이론의 초기 개발에 푸리에 분석이 중요한 역할을했다는 사실에 놀랄 것입니다. 사실 Cantor가 서수를 도입하게 된 것은 푸리에 분석 질문이었습니다.
집합 이론의 개발에 푸리에 분석이 어떻게 중요 했습니까? 이것은 실제로 나에게 다소 놀라운 것 같습니다.
답변
푸리에 변환이 아니라 푸리에 시리즈였습니다. 푸리에 급수가 수렴하는 집합이 매우 복잡 할 수 있다는 점을 고려할 때 Cantor가 실수의 하위 집합에 대한 집합 이론을 개발하게 한 것은 놀라운 일이 아닙니다. 그러나 어느 시점에서 그는 초기 문제에 의해 실제로 동기가 부여되지 않았지만 그의 형이상학 적 관심사와 일치하는 초록 (오늘날 가장 잘 알려져 있음)으로 전환했습니다 . Gödel의 Cantorianism Ternullo를 참조하십시오 .
Heine이 Cantor에 제기 한 구체적인 문제는 다음과 같습니다. Srivastava, Cantor는 집합 이론 및 토폴로지를 어떻게 발견 했습니까? 삼각 시리즈가 다음으로 수렴한다고 가정합니다.$0$ 점으로, 모든 계수는 $0$게다가? 본질적으로 Foureier 시리즈의 고유성 문제입니다. Dirichlet, Heine, Lipschitz 및 Riemann은 손을 뻗어 시도했지만 엄격한 제한 하에서 만 결과를 증명할 수있었습니다 (예 : Heine이 균일 한 수렴을 가정).
Cantor는 완전한 일반성 (1870)으로 그것을 증명할 수 있었을뿐만 아니라 모든 곳에서 점적 수렴의 가정이 완화 될 수 있음을 알아 차 렸습니다. 그는 고유성이 외부의 점적 수렴에 의해 보장되는 것과 같은 "유일성 집합"을 도입했습니다. Heine의 '응결 점'(현재 한계 또는 누적 점) 개념을 활용하여 Cantor는 파생 세트를 정의했습니다. $P'$ 세트의 $P$응축 지점의 집합으로. 그런 다음 그는 먼저 증명했습니다 (1871)$P'=\emptyset$ 충분했다 $P$ 고유함의 집합이되고 나중에는 $P^{(n)}=\emptyset$ 유한 한 $n$충분합니다. Cantor의 세트 이론과 포인트 세트 토폴로지 혁신의 발판 역할을 한 파생 세트 구성입니다.
특히 실수의 개념을 더 정확하게 만드는 증명이 필요했고, Cantor는 합리적 순서의 코시 시퀀스 측면에서 그것들을 구성했습니다. 그 후 Cantor의 관심은 삼각법 시리즈에서 실제 포인트 세트의 더 추상적 인 속성으로 이동 한 다음 일반적으로 추상 세트로 이동했습니다. 그는 셀 수있는 (현재 셀 수있는) 세트를 도입하고, 합리적 수와 대수 수를 셀 수있는 것으로 식별 한 다음 열린 실제 구간의 비가 수성을 증명했습니다. 이것은 무한 집합의 "크기"와 그 카디널리티를 비교하는 아이디어로 이어졌고 결국 대각선 인수와 연속체 가설과 비교되었습니다.
다른 조사에서, 다음과 같은 세트의 예를 찾은 후 $P^{(n)}\neq\emptyset$ 유한 한 $n$, Cantor는 재귀를 초한으로 확장했습니다 (그의 고유성 결과 세트는 $n$셀 수있는 서수로 대체 됨). Transfinite ordinals는 실제 무한대에 대한 아리스토텔레스의 선입견을 도입, 개발 및 방어해야하는 새로운 개념이었습니다. Cantor (및 기타)는 왜 연속체에 c를 사용 했습니까? 초 한적 귀납법과 조밀하고 완벽한 세트의 개념이이 아이디어의 원에서 나왔습니다. 그러나 푸리에 시리즈의 고유성 문제에 대한 궁극적 인 해결책은 더 이상 Cantor의 관점에 있지 않았으며 Lebesgue 측정 이론이 도입 될 때까지 기다려야했습니다. 고유성의 집합은 Lebesgue 측정 값 0의 집합으로 판명되었습니다.
안타깝게도 구체적인 참조는 없지만 Cantor의 초기 작업은 푸리에 시리즈의 "유일성 집합"에 관한 것이 었습니다 (푸리에 변환이 아니라고 생각하지만 쉽게 착각 할 수 있음).
이것은 19 세기 후반의 다른 "건설적"분석 프로젝트와 유사합니다. 여기에서 ... 연속 ... 기능의 한계가 적용되었습니다. 20 세기 초까지도 실제 라인의 하위 집합을 "분류"하려는 시도가 있었지만, 내 이해에 따르면 그러한 세트가 너무 많고 너무 복잡하다는 것이 밝혀졌습니다.
그 분류 시도의 일부는 그 단어를 사용하지 않았지만 무한한 한계를 포함했습니다. 오래 전, 저는 그러한 접근 방식을 취한 고풍스러운 "실제 분석"텍스트의 일부 Dover 재판을 받았습니다.
폴 개렛이 아이디어를 가지고 있습니다. $E \subseteq \mathbb R$다음과 같은 경우 고유성 의 집합입니다 .$\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{int}$, 수렴하는 경우 $0$ 예외적으로 $E$, 다음 $c_n = 0$ 모든 $n$.
다음 은 설명입니다.
빈 집합은 고유성의 집합입니다. 이것은 삼각 시리즈가 모든 곳에서 0으로 수렴하면 사소한 것이라고 말하는 멋진 방법입니다. 이것은 이중 형식 통합의 섬세한 기술을 사용하여 Riemann에 의해 입증되었습니다. 그리고 결과 합이 Toeplitz 연산자를 사용하여 일반화 된 종류의 2 차 도함수를 가짐을 보여줍니다. 나중에 Cantor는 Riemann의 기술을 일반화하여 셀 수 있고 닫힌 세트가 일련의 독특함을 보여 주었고이를 발견하여 세트 이론을 개발했습니다.
Cantor의 연구는 (내 생각에) 이렇게 진행되었습니다. 유한 세트$E$고유성의 집합입니다. 세트$E$유한 한 많은 한계점은 고유함의 집합입니다. 한계점에 유한하게 많은 한계점이있는 세트는 고유성의 세트입니다. 계속해서 Cantor는 초한 서수로 이어졌습니다. 물론 그가이 작업을 수행 할 때 "카운트 가능"과 "닫힘"은 표준 개념이 아닙니다.
다음은 Cantor의 원본 논문에 대한 참조입니다.
삼각 급수에 관한 정리. (Ueber einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz.) Borchardt J. LXXII, 130-138 (1870).
삼각법 시리즈에 의해의 모든 실수 값에 대해 주어진 함수가이 형식으로 하나의 표현만을 가지고 있다는 증거입니다. (Beweis, dass eine für jeden reellen Werth von durch eine trigonometrische Reihe gegebene Funktion sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt.) Borchardt J. LXXII, 139-142 (1870).
삼각 시리즈. (Ueber trigonometrische Reihen.) Clebsch Ann. IV, 139-143 (1871).
삼각법 시리즈 이론에서 정리의 확장. (Ueber die Ausdehnung eines Satzs aus der Theorie der trigonometrischen Reihen.) Clebsch Ann. V, 123-133 (1872).
Borchardt J. = Journal fur die reine und angewandte Mathematik,
Clebsch Ann. = Mathematische Annalen.
두 저널 모두 인터넷에서 사용할 수 있습니다.