직교 행렬의 열 합계 분포?
정사각형 실수 직교 행렬이 있다고 가정합니다. $A \in \mathbb{R}^D$, 그리고 요소 별 합을 계산합니다. $i$열로 $a_i := \sum_{d=1}^D A_{di}$. 분포를 어떻게 설명 할 수 있습니까?$a_i$ D 열의 값?
나는 최대 값이 $a_i$ 걸릴 수 있습니다 $\sqrt{D}$ 최소값은 $-\sqrt{D}$. 어떻게 하나를 고치는 지 궁금합니다$a_i$ 나머지에 영향 $a_j$ ...에 대한 $j \neq i$.
편집 1 : 나는 방법에 더 관심이있을 수 있습니다 $a_i$ 다음과 같이 주문하면 가치가 감소합니다. $a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_D$. 예를 들어$a_1 = \sqrt{D}$, 가장 큰 것은 무엇입니까 $a_2$ 될 수 있습니까?
답변
가능한 벡터 $(a_i)_{1\leq i \leq D}$ 정확히 벡터입니다 $\mathbb{R}^n$ 규범으로 $\sqrt{D}$. 즉, 우리는 항상
$$ \sum_{i=1}^D a_i^2 = D $$
따라서 한 가지 질문에 대답하려면 $a_1$ 극단적 인 가치가있다 $a_1 = \pm \sqrt{D}$, 기타 모든 $a_i$정확히 0입니다. 첫 번째 열이$A$ 반드시 $\pm D^{-1/2} [1, \ldots, 1]$, 다른 열과 함께 내적을 취하면 0이되어야합니다. 즉, 다른 열 요소의 합계가 0입니다.
주장을보다 일반적으로 증명하려면 단위 기준을 호출하십시오. $\{e_i\}$, 우리는 $A_{ij} = e_i^T A\, e_j$, 그래서
$$ a_i = \sum_{d=1}^D A_{di} = \sum_{d=1}^D (e_d^T A\, e_i) = \left[\sum_{d=1}^D e_d^T \right] A e_i $$
왼쪽 행 벡터는 모든 요소가있는 벡터입니다. $1$. 그래서 표시$u = [1,\ldots,1]$, 제공
$$ a_i = u^T A \, e_i = (A^T u)^T e_i $$
즉, 숫자 $a_i$ 벡터의 좌표입니다 $A^T u$. 이후$A$ 직교이므로 $A^T$, 따라서
$$\big| (a_i)_{1 \leq i \leq D} \big| = |A^T u| = |u| = \sqrt{\sum_{d=1}^D 1^2} = \sqrt{D} $$
이것을 보는 한 가지 방법은 각 값이 $(a_i / \sqrt{D})$ 사이 각도의 코사인입니다. $A e_i$ (원래 기저 벡터의 이미지) 및 상수 벡터 $u$.
반대로, 값이 주어진다고 가정합니다. $\alpha_i$ 그런 $\sum \alpha_i^2 = D$. 정규 직교 기준 선택$\{x_i\}$ 의 $\mathbb{R}^D$ 와 $x_1 = D^{-1/2} (\alpha_i)_{1 \leq i \leq D}$, 그리고 다른 정규 정규 기준을 선택합니다. $\{y_i\}$ 의 $\mathbb{R}^D$ 와 $y_1 = D^{-1/2} u$, 예를 들어 Gram-Schmidt 알고리즘에 의해. If 행렬$X$ 있다 $\{x_i\}$ 열과 행렬로 $Y$ 있다 $\{y_i\}$ 열로 다음 행렬 $A = Y X^T$ 값이있는 행렬의 한 예입니다. $a_i = \alpha_i$ 열 합계로
$$ a_i = u^T A e_i = \sqrt{D} \cdot y_1^T Y X^T e_i = \sqrt{D} \cdot e_1^T X^T e_i = \sqrt{D} \cdot x_1^T e_i = \alpha_i $$
따라서 벡터에 대한 확률 분포는 $(a_i)$, 우리는 확실히 구에 대한 일반적인 분포를 사용할 수 있습니다 $S^{D-1}$. 나는 이것이 직교 행렬에 대한 합리적인 확률 분포에서 얻을 수있는 것과 동일한 분포라고 예상합니다.$A$ (그러나 그것은 정의 될 것입니다), 대칭의 원리처럼.