지지가 관형 이웃에있는 차동 형태 $T^k\times \{0\}^{n-k}\subset T^n$

Aug 21 2020

허락하다 $\alpha$ 원환 체의 미분 형태 $T^n$ 누구의 지원 $\mathrm{supp}(\alpha)$ 아 토러스의 작은 이웃에 포함되어 있습니다. $T^k\equiv T^k\times \{0\}^{n-k}$.

질문 : 가정$\alpha$일부 메트릭과 관련하여 폐쇄되거나 고조파입니다. de Rham cohomology 클래스가$[\alpha]\in H^*_{dR}(T^n)$ 풀백의 이미지 속에 살아야합니다 $H^*_{dR}(T^k)\to H^*_{dR}(T^n)$ 투영에 의해 유도 $T^n\to T^k$.

사실 저는 먼저 다음 질문에 대해 생각했습니다. $S$ 이미지가 작은 이웃에 포함 된 단일 체인 / 사이클입니다. $T^k$, 그럼 우리는 $[S]\in H_*(T^n)$ 의 이미지에 있어야합니다 $H_*(T^k)\to H_*(T^n)$? 이에 대한 대답은 긍정적이어야합니다.$S$ 으로 $T^k$. 하지만 위와 같은 코 호모 로지 이론에서는 혼란 스럽습니다.

간단하게 가정 할 수 있습니다. $k=1$$n=2$. 보다 일반성을 위해 한 쌍의 (콤팩트 한) 매끄러운 매니 폴드를 고려할 수 있습니다.$N\subset M$ 토러스보다는 $T^k\subset T^n$.

답변

3 SebastianGoette Sep 01 2020 at 03:43

컴팩트 함으로 $\operatorname{supp}(\alpha)\subset T^k\times B^{n-k}$, 어디 $B^{n-k}\subset T^{n-k}$작은 공입니다. 그래서$[\alpha]$ 이미지에 $H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k})\to H^*_{dR}(T^n)$. Künneth 공식과 절제에 의해$$ H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k}) \cong H^*_{dR}(T^k)\otimes H^*_{dR}(\overline{B^{n-k}},\partial B^{n-k})\;.$$ 두 번째 요소는 정도만 동일합니다. $n-k$, 생성, 말 $[\omega]$. 이미지$[\omega]$$H^{n-k}(T^{n-k})$발전기이기도합니다. 그래서 독특한$\beta\in H^*_{dR}(T^k)$ 그런 $$[\alpha]=[\beta]\otimes[\omega]\;.$$

더 일반적으로 $N\subset M$ 둘 다 컴팩트하고 $N$ 방향성 정상 번들 $\nu$. 만약$U\subset M$ 관 모양의 이웃입니다 $N$$\operatorname{supp}(\alpha)\subset U$, 다음 $U$ 이형 $\nu$$[\alpha]$ 이미지에 $$H^*_{dR}(N)\stackrel\Theta\longrightarrow H^*_{dR}(M,M\setminus U)\longrightarrow H^*_{dR}(M)\;,$$ 어디 $\Theta$정상 번들 (절제 후)에 대한 Thom 동형입니다. 이 구성은 때때로 표시됩니다$\iota_!$ ($\iota\colon N\to M$포함입니다). 보통 묶음의 랭크로 정도를 올립니다.

둘 다 $N$$M$ 지향적입니다. $\nu$, 그리고 하나는 설명 할 수 있습니다 $\iota_!$ 추진력을 활용하여 $\iota_*$ Poincaré 이중성과 상 동성 $N$$M$.