질량 밀도 함수 : 점에 질량 밀도가 어떻게 존재합니까?

Aug 17 2020

우리는 종종 질량 밀도, 전하 밀도 및 기타 이러한 기능에 대해 논의합니다. $\rho(x,y)$ 초 박판 및 $\rho(x,y,z)$3D 개체의 경우. 이러한 함수의 출력 단위는 질량 또는 전하 / 단위 부피를 말합니다.$\frac{kg}{m^3}$ 또는 $\frac{C}{m^3}$. 나는 한 지점의 밀도를 이해할 수 없습니다.

나는 우리가 단위 부피당 질량을 "점에서"라고 말할 때, 우리는 그 지점 주변의 부피에 포함 된 질량을 의미한다고 생각합니다. 여기서 우리는 미적분학적인 의미에서 "즉시 주변"이라고 말하여 볼륨이 0에 가까워 지도록합니다. 이렇게하면 모든 점의 집합이 여전히 전체 개체입니다.

이 올바른지? 아니면 마크를 놓친 적이 있습니까?

답변

13 ChiralAnomaly Aug 17 2020 at 04:42

질량 밀도는 $\rho(x,y,z)$, 우리는 어떤 유한 영역 내의 질량이 $R$ ~에 의해 주어진다 $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ 즉, 질량 밀도 지정 $\rho(x,y,z)$ 영역을 취하는 함수를 설명하는 간결한 방법입니다. $R$ 입력으로 질량을 반환합니다. $M(R)$ 그 지역에서 출력으로.

지역 $R$임의로 작을 수 있으므로 직감이 올바른 방향으로 가고 있습니다. 우리가 가져 가면$R$점이 되려면 질량$M(R)$ 질량 밀도가 아무리 크더라도 (유한 한 한) 0입니다.

3 fraxinus Aug 17 2020 at 14:50

(질량을 구성하는) 물질은 이산 적입니다. 우리는 분자, 원자, 작은 입자 등을 가지고 있습니다.

공간 자체도 이산 적이라는 힌트가 있지만 (플랑크 길이 참조) 확실히 알 수 없습니다.

그런 다음 때때로 (거의 항상 사실) 충분히 작은 규모에서 물질을 부드럽고 균질 한 것으로 근사하고 실제 숫자를 사용하는 전체 미적분학 aparatus를 사용하는 것이 유용합니다.

이것이 밀도가 스칼라 필드가되는 방법입니다.

3 DescheleSchilder Aug 17 2020 at 04:55

기본적으로 당신이 맞습니다. 한 지점에 포함 된 질량 (연속 재료에 대해 말할 때)은 0입니다.
그러나 우리는 수학적으로 다음과 같이 설명되는 작은 양의 길이, 면적 또는 부피를 실제로 취할 수 있습니다.$dx$, $dA$, 또는 $dV$ 0에 접근 합니다. 이를 길이, 면적 또는 체적 요소라고합니다. 전체 질량을 찾으려면 1 차원, 2 차원 또는 3 차원 경우 질량의 모든 지점에서 길이, 면적 또는 부피 요소와 함께 무한히 작은 질량 밀도의 모든 곱을 합산해야합니다. 이 합계는 밀도 곱의 통합이됩니다.$\rho$ 세 가지 다른 요소 (가정 $\rho$ 의 위치와 무관합니다. $x$, $A$, 또는 $V$) :

$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$

한 줄의 질량에 대해

$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$

표면의 매스

$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$

부피의 질량에 대해.

질량 밀도가 질량의 위치에 따라 달라지는 경우 $\rho$ 으로 $\rho (x)$, $\rho (A)$, 및 $\rho (V)$.

1 EricTowers Aug 18 2020 at 02:22

한 지점에서의 질량 밀도는 두 가지 방법으로 정의됩니다.

  • 부피가 0으로 감소함에 따라 점을 포함하는 부피의 평균 질량 밀도 한계
  • 질량을주기 위해 통합 된 필드로.

이 두 정의가 어떻게 그리고 언제 동일한 지 이해하려면 측정 이론이 필요합니다. 이때 두 정의가 동일하지 않은 방법을 배웁니다.

그들이 어떻게 같은지의 예. 질량 밀도 (필드)가 상수라고 가정합니다.$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$고려중인 각 지점에서. 허락하다$x$그런 요점이 되십시오. (단순함을 위해) 중심에있는 구에 대한 구형 체적 평균 밀도의 한계를 계산해 보겠습니다.$x$. 허락하다$r$ 반지름 $\mathrm{cm}$. 음량,$V$, 질량, $m$, 아르 \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}

(명시 적 단위는이 질량을 밀도처럼 보이게 만들 수 있습니다. "$r$" 에 "$r^3$"에는 명시 적 단위의 분모에서 거리 단위를 취소하는 거리 단위가 있습니다.)

그런 다음 질량 밀도 $x$ 이다 $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. 공지 사항 우리는 해야한다 로 제한을$r \rightarrow 0$. 우리는 질량 대 부피의 비율을 평가할 수 없습니다.$r = 0$0으로 나누기 때문입니다. 이제 우리가 제한하는 함수의 그래프입니다. 대수적 취소 (한계 미만으로 허용되지만이 한계를 벗어나지 않음)에서 상수 함수를 볼 수 있습니다.

요점 $(0,1)$0으로 나누는 것은 정의되지 않았기 때문에 생략됩니다. 그 가치를 알아 내기 위해 우리는 한계를 사용합니다. 밀도 필드가 다양하면 (평균 밀도 주변의 작은 변동 및 / 또는 밀도가 높거나 낮은 경향이 있습니다.$x$) 곡선에서 이러한 변화를 볼 수 있습니다. 이 매우 단순한 모델에는 그러한 기능이 없습니다.

1 JoonasD6 Sep 13 2020 at 11:53

다른 관점을 추가하겠습니다. 질문 이 고도로 발전된 것이거나 물리학의 해당 영역에서만 나타나는 같기 때문입니다. 질문 하는 것은 Zeno의 화살표 역설과 정확히 유사합니다.https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox

기본적으로 도함수에 익숙하지만 임의의 양에 적용될 때 직관적이지 않습니다 . 확실히 우리는 일정 기간 동안의 평균 속도 ∆ t 에 대해 이야기 할 수 있으며 , 기간을 단일 순간으로 제한 할 때 주어진 순간의 순간 속도를 얻습니다. 우리가 알고있는 유용한 양은 잘 정의되어 있습니다.

"하지만 속도를 내려면 여행을해야하고 시간이 지나지 않으면 여행 할 수 없습니다!" 예, 질량 점을 보면 직관적 인 "순간"밀도 (dm / dV)가 없다는 것과 동일한 거래이지만 그럼에도 불구하고 우리는 미분으로 작업하고 작동합니다. :)