진리표를 구성하지 않고 문장 공식 ~ (~ p → ~ q) → ~ (q → p)가 팽팽하다는 것을 보여줍니다

Question

나는 이것을 며칠 동안 해결하려고 노력했지만 내가 옳은지 잘 모르겠습니다. 중요한 강사가 몇 명 참석하지 못해서 이것이 최종 답변을 제시해야할지, 최종 답변이 맞는지 잘 모르겠습니다.

이 사이트의 오래된 게시물을 살펴본 후 이와 같은 기반을 구축하려고했습니다.

• p = 비가 내림
• q = 구름이있다
• ~ p = 비가 오지 않음
• ~ q = 구름이 없습니다

따라서 왼쪽에서 오른쪽으로 시작합니다.

~ (비가 오지 않는다는 것은 구름이 없음을 의미합니다)는 또한 ~ (구름이 있다는 것은 비가 오는 것을 의미합니다)를 의미합니다.

첫 번째 부분을 부정하면 (비가 내린다는 것은 구름이 있음을 의미합니다).

두 번째 부분을 부정하면 (구름이 없다는 것은 비가 내리지 않음을 의미합니다).

이 기호 ($\rightarrow$)이 두 부분 사이에 혼란 스럽습니다. 논리적으로 두 문장이 합리적으로 이해되는 것이 타우 톨 로지가 의미하는 것입니까? 그렇다면이 질문을 답으로 가장 잘 제시해야하며 그렇지 않은 경우 어떻게 해결해야합니까?

이 게시물에서 사용해야 할 태그가 확실하지 않습니다. 여기에서 처음입니다.

Answer 1

기억 $p \vee \neg p$이 문장은 항상 참으로 평가됨을 의미합니다. 또한,$p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q$.

그래서 우리는 \begin{align} \neg (\neg p \rightarrow \neg q) \rightarrow \neg (q \rightarrow p) &\equiv \neg \left[\neg(\neg p) \vee \neg q\right] \rightarrow \neg (\neg q \vee p) & \text{(definition of implication (x2) )}\\ &\equiv \neg \left(p \vee \neg q\right) \rightarrow \neg (\neg q \vee p) \\ &\equiv \neg \left(p \vee \neg q\right) \rightarrow \neg (p \vee \neg q) & \text{(rearranging terms)}\\ &\equiv \neg \left[\neg (p \vee \neg q) \right] \vee \neg (p \vee \neg q) & \text{(definition of implication))} \\ &\equiv (p \vee \neg q) \vee \neg ( p \vee \neg q) \end{align}

이제 $r = p \vee \neg q$. 그런 다음 우리는$(p \vee \neg q) \vee \neg (p \vee \neg q) \equiv r \vee \neg r$, 이것은 팽팽한 것입니다.

Answer 2

자연 공제 규칙을 사용한 증명은 다음과 같습니다.

1. $\underline{\mid\quad} ¬(¬P→¬Q)~$ -가정
2. $\mid\quad\underline{\mid\quad} Q→P~$ -가정
3. $\mid\quad\mid\quad\underline{\mid\quad} ¬P~$ -가정
4. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad\underline{\mid\quad} Q~$ -가정
5. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad\mid\quad P~$ -E → 2,4
6. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad\mid\quad ⊥~$ -3,5에서
7. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad ¬Q~$ -I¬ in 4 (가까운 가정 4)
8. $\mid\quad\mid\quad ¬P→¬Q~$ -I → 3,7 (근접 가정 3)
9. $\mid\quad\mid\quad ⊥~$ -1,8에서
10. $\mid\quad ¬(Q→P)~$ -I¬ in 2 (가까운 가정 2)
11. $¬(¬P→¬Q)→¬(Q→P)~$ -I → 1,10 (근접 가정 1)