조합 문제-선택 $6$ 밖으로 카드 $32$-정확히 세 가지 다른 슈트가 있도록 카드 데크 (포함-제외)
데크가 있다고 가정합니다. $32$ 카드 $8$네 벌의 각 카드. 어떻게 6 장의 카드를 선택하여 선택한 카드 중 정확히 세 가지 다른 무늬의 카드가 있는가?
저는 포함-제외 원칙이 문제를 해결하는 방법이라고 믿습니다. 먼저 총 선택 방법의 수를 계산합니다. $6$ 밖으로 카드 $32$ (이것은 $\binom{32}{6}$), 정확히 2 개의 슈트가 누락 된 조합 수를 제외합니다 (즉, $\binom{4}{2}\binom{16}{6}$) 그런 다음 포함-제외 공식으로 세 가지 슈트가 모두 누락 된 조합을 추가합니다 (즉, $\binom{4}{3}\binom{8}{6}$). 모든 조합의 수$4$ 물론 누락 된 정장은 0입니다.
내 질문은-내 논리가 잘못된 곳은 어디입니까? 알고 있지만 오류를 발견 할 수없는 것 같습니다.
답변
정확히 한 벌에 빈 손을 세는 것이 좋습니다 .
우리가 시도하면 $\binom{24}6 - \binom4 2 \binom{16}6 + \binom4 3\binom8 6$, 우리는 적어도 하나의 보이드 슈트 에서 빈 핸드의 수를 얻을 것입니다 . 왜냐하면 우리는 곱하기 보이드 수트의 오버 카운트 만 빼고 있기 때문입니다. 반면 정확히 하나의 보이드 수트로 숫자를 얻으려면 곱셈의 전체 수를 빼야합니다. 공허한 것들
이 숫자는 빈 핸드 수의 4 배입니다.$\;$$\ spadesuit $ 에 결합 할 수있는 $ 3 $ 에 빈 손 형성하는 방법 $ 2 $ , 가산에 의한 오버 카운트 정장을하고, 제거 $ 3 $ 손이에 무효가 될 수있는 방법을 $ 3 개 $ 와 함께 정장 $ \ spadesuit $를 우리에게주는 $ 4 [\하기 Binom {24} 6-3 \하기 Binom {16} 6 세 \ binom8 6] $
여기에는 두 가지 문제가 있습니다. 첫 번째는 표준 포함-제외 공식은 적어도 한 가지가 누락 된 이벤트를 빼서 시작한다고 가정하여 두 개가 누락 된 모든 것은 두 번 계산되고 세 개의 누락은 세 번 계산됩니다. 한 번 더하거나 빼야하고, 당신은 교대로합니다.
여기서 두 개가 누락 된 것을 빼는 것으로 시작합니다. 즉, 세 가지가 누락 된 모든 것을 세 번 뺀 것이므로 (세 가지 정장에서 세 가지 방법으로 한 쌍을 선택할 수 있음) 따라서 세 가지 가 누락되는 방법 수의 두 배 를 더해야합니다 . (가능한 상황이라면 네 가지 방법이 누락되는 방법 수의 세 배를 빼야합니다. 지금까지 이러한 구성을 여섯 번 빼고 8 번 더했을 것입니다.)
두 번째 문제는 네 가지 슈트가 모두있는 상황을 모두 설명하지 않았다는 것입니다. 따라서 이전 단락에서 변경 한 후 계산 한 것은 선택한 카드 중 적어도 3 개의 슈트 를 가질 수있는 방법의 수입니다 .