주어진 iid 랜덤 변수 $\{X_n\}$유한 한 2 차 모멘트로. 알다 $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$

Question

주어진 iid 랜덤 변수 $\{X_n\}$유한 한 2 차 모멘트로. 증명하는 방법$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$?

나는 Chebyshev 불평등을 시도했습니다.
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$그러나 우리는 유한 한 2 차 모멘트 만을 가지고 있기 때문에 작동하지 않았습니다 . Chebyshev 불평등보다 더 섬세한 불평등이 있습니까?

Answer 1

$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ 어디 $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$. 사실을 사용하십시오$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ 사건 이후 $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ 빈 세트로 감소하고 $E|X_1|^{2} <\infty$.

Answer 2

나는 당신의 대답이 따를 다음과 같은 기본형을 증명할 것입니다.

허락하다 $X$ 음이 아닌 실수 값 랜덤 변수 여야합니다. $\mathbb E(X)<\infty$. 그때$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ 증명: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$.

이후 $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ 같이 $n\uparrow \infty$ 모든 랜덤 변수는 음이 아닙니다. Monotone Convergence Theorem에 따르면 $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$따라서 $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ 이후 $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, 우리는 $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$결론을 내리기 위해 샌드위치 정리를 사용하십시오. 마지막으로 문제에서$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$