주어진 시퀀스를 분석해야합니까? $ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}$ 방정식없이 $0$?

Question

"수렴을 증명하고 한계가 존재하는 경우 한계를 찾아야"할 때 재귀에 의해 주어진 시퀀스를 사용하는 연습 문제가 있고 그런 종류의 재귀가 주어집니다.

$$ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}, x_1 \in (0 ; \infty)$$

한계를 찾는 것은 매우 쉽습니다. 한계가 존재한다고 가정합니다. $ \mathbb{R}$ 그런 다음 한계의 산술 속성을 사용하십시오. $$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_{n}$$ $$\lim_{n \to \infty} x_{n} = l, l \in \mathbb{R}>0$$

내 재귀 : $$l = \frac{1}{2 + l}$$ $$l^2 +2l - 1 = 0$$ $$l_1 = \sqrt{2} - 1 \in D$$ $$l_2 = -1 - \sqrt{2} \notin D$$

그래서 나의 유일한 한계는 $ \mathbb{R}$ 이다 $l = \sqrt{2} - 1$. 그것은 한계가 존재한다는 것을 실제로 증명할 수있는 경우입니다. 즉, 시퀀스는 단조롭고 경계가 있습니다. 그리고 여기 내 문제가 있습니다-컴퓨터없이 다음과 같은 차이점을 분석하는 것은 불가능합니다.

$$x_{1+n} - x_{n} = \frac{1}{2 + x_{n}} - x_{n}$$

한계를 찾기 위해 나는 방정식의 양쪽에 다음을 곱합니다. $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = l$ 여기서는 불가능하므로 다음과 같은 결과를 얻습니다. $$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$$

그럼 더 큰지 알 수 없습니다 $0$ 단조를 분석하기 위해 어떤 값이 o인지 알 수 없습니다. $n$ 어떤 값 $n+1$ 최소값이 미치기 때문에 (경계를 얻기 위해) 얻습니다.

그래서 그냥 물었습니다. 뭔가 빠졌나요? 여기서 만들 수 있습니까?$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$ 평등 $0$ 더 간단한 기능을 분석 할 수 있습니까 (사진에서 빨간색)?

Answer 1

이것은 Möbius 변형 입니다. 뿌리를 얻으면$l_1, l_2$ 특징적인 기능의 $l^2+2l-1=0$, 그것은 다음과 같습니다 $1-2l_1=l_1^2$ 과 $1-2l_2=l_2^2$. 그때

$$ x_{n+1}-l_1 = \frac{1}{2+x_n}-l_1 = \frac{1-2l_1-l_1 x_n}{2+x_n} = \frac{l_1^2-l_1 x_n}{2+x_n} = -l_1 \frac{x_n-l_1}{2+x_n} \tag 1 $$

비슷하게 $$ x_{n+1}-l_2 = -l_2 \frac{x_n-l_2}{2+x_n} \tag 2 $$

$(1) \div (2)$ (당신은 이것을 할 수 있습니다 $x_n>0>l_2$), $$ \frac{x_{n+1}-l_1}{x_{n+1}-l_2} = \frac{l_1}{l_2}\cdot \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} $$

따라서 $\frac{x_n-l_1}{x_n-l_2}$ 기하학적 순서입니다.

$$ \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} = \left(\frac{l_1}{l_2} \right)^{n-1} \cdot \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2} \tag3 $$

그때 $$x_n=\frac{l_1-\frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left( \frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \cdot l_2}{1- \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1}}$$

같이 $n\to \infty, \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \to 0, x_n \to l_1 = \sqrt 2 - 1$.

행렬을 사용하여 해결하려면 여기 를 참조 하십시오 .

Answer 2

$$X_{n+1}=\frac{1}{2+X_n} \implies 2 X_{n+1}+X_{n+1}X_n=1$$ 허락하다 $X_n=\frac{Y_{n-1}}{Y_n}$, 다음 $$2 \frac{Y_{n}}{Y_{n+1}}+\frac{Y_n}{Y_{n+1}}\frac{Y_{n-1}}{Y_n}=1 \implies 2Y_n+Y_{n-1}=Y_{n+1}.$$ 허락하다 $Y_n=t \implies t^2-2t-1=0 \implies t=1\pm \sqrt{2}.$ 그래서 $$Y_n=p(1+\sqrt{2})^n+q (1-\sqrt{2})^{n} $$ $$\implies X_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{n-1}+r(1-\sqrt{2})^{n-1}}{(1+\sqrt{2})^{n}+r(1-\sqrt{2})^{n}}, r=q/p.$$ $$\lim_{n \to \infty}X_{\infty}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$

Answer 3

이기는 하지만 $x_1$ 모든 양수가 될 수 있습니다. $x_2$ 보다 작다 $\frac 12$, 그래서 당신의 한계에서 멀지 않습니다. 유용 할 수있는 접근 방식은 한 용어를 한계와 오류 용어로 작성하는 것입니다.$x_i=\sqrt 2-1+\epsilon$ 그때 $$x_{i+1}=\frac 1{2+x_i}=\frac 1{1+\sqrt 2 + \epsilon}\\ x_{i+1}=\frac{\sqrt 2-1}{1+(\sqrt 2-1)\epsilon}\\ x_{i+1}\approx (\sqrt 2-1)-(\sqrt 2-1)^2\epsilon$$ 1 차 근사치를 사용하여 $\frac 1{1+\epsilon}$. 이를 통해 오류가$6$모든 단계에서 시퀀스가 ​​수렴됩니다. 좀 더 공식적으로 말하면 위의 오류를$x_i \in (0,\frac 12)$. 이렇게 빨리 감소하지는 않지만,$1$ 충분합니다.