카테고리의 제품군 정의에 대한 질문
저는 Thomas Hunger Ford의 Algebra에서 카테고리를 연구하고 있으며 카테고리 정의에 대한 질문이 있습니다.
내 질문은 : 그 다이어그램에서 저자가 의미하는 바는 교환 적입니다.
나는 그것이 의미하는 바에 대한 단서가 없지만 $7.2$ 위에 주어진 것은 절대적으로 이해됩니다.
저자가 의미하는 바를 친절하게 알려주십시오.
답변
기본적으로 이것이 의미하는 바는 다이어그램의 각 삼각형이 형태 파 구성과 동등성의 집합을 나타냅니다. 예를 들어
이 특정 다이어그램은 $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. 마찬가지로:
이 다이어그램은 $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$.
이 삼각형 각각은 교환 형 다이어그램으로 간주되며, (원래 표시된대로) 함께 "분쇄"하여 만든 다이어그램도 교환 형이라고 말합니다.
보다 일반적으로 : 교환 다이어그램에서 동일한 시작점과 끝점에서 선택한 경로는 일종의 평등을 나타냅니다 (범주 이론에서 평등은 형태론 구성과 관련됨). 첫 번째 삼각형은$B$ ...에 $A_1$ 예를 들어 : $\varphi_1$ 그리고 다른 하나는 $P$ 통하다 $\varphi$그리고 다음 에$A_1$ 통하다 $\pi_1$. 따라서 우리는$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. 다른 다이어그램과 일반적으로 교환 다이어그램에서도 유사합니다.
이러한 것들이 어떻게 작동하는지, 평등을 어떻게보고, 활용하고, 조작 할 수 있는지에 대한 시각적 인 직관력이 좋습니다.
여기 에서 Wikipedia 기사에서 더 많은 예제, 다이어그램 및 설명을 찾을 수 있습니다 .
다이어그램은 생성되는 모든 화살표, 즉 다이어그램 자체에서 화살표를 구성하여 형성 할 수있는 모든 화살표를 볼 때 교환 적입니다. 두 개체 사이에 하나의 화살표 만 표시됩니다.
예를 들어, 범주 Sets를 보고 있다고 가정 합니다. 개체 고려$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$및 화살표로 구성된 "삼각형"다이어그램 $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$이 다이어그램은 교환 적이 지 않습니다 . 명시 적으로 표시되는 화살표 외에$f,g,h$ "생성 된"화살표도 있습니다. $g\circ f$. 이것은 동일한 도메인과 공동 도메인을 가지고 있습니다.$h$,하지만 다음과 다릅니다. $h$.
더 빠르게 :
교환 삼각형 은 정확하게 화살표 구성의 인스턴스입니다 : 주어진 화살표$f,g,h$ 어디 $g\circ f$ 정의되고 소스 및 대상이 $h$,에 의해 형성된 삼각형 $f,g,h$ 교환 적 iff $g\circ f=h$.
물론 더 복잡한 교환 다이어그램이 있습니다. 통근 사각형 은 자주 잘립니다 (예 : "풀백 사각형"참조) : 기본적으로 화살표가있는 상황에 해당합니다.$f_1,f_2,f_3,f_4$ 그런 $f_1$ 과 $f_2$ 소스가 동일하고 $f_3$ 과 $f_4$ 동일한 목표를 가지고 구성 $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ (정의되고) 동일합니다.