컨볼 루션 적분 선형 연산자 on $L^2$

Aug 21 2020

선형 연산자 정의 $L^2[0,1]$ 으로 $K(f)(t) = \int_{0}^{t}(t-s)f(s)ds$. 주어진$g \in L^2[0,1]$, 찾기 $f$ 그런 $f = g + K(f)$.

나는 이것을하는 방법을 정말로 잃었다. 나는 이미 그것을 보여 주었다$K$ 유한 선형 연산자이므로 Riesz 표현 정리를 사용할 수 있다고 생각했지만 올바른 방향이라고 생각하지 않습니다.

나는 어디로 가야할지에 대한 힌트를 정말로 고맙게 생각합니다. 감사!

답변

2 kobe Aug 21 2020 at 11:34

적분 방정식은 라플라스 변환을 사용하여 풀 수 있습니다. 두 함수의 컨볼 루션의 라플라스 변환이 각 함수의 라플라스 변환의 곱이라는 사실을 사용하여 라플라스 변환을 양쪽에 적용합니다. 그렇게하여 방정식을 얻으십시오.$$F(s) = G(s) + \frac{G(s)}{2(s-1)} - \frac{G(s)}{2(s+1)}$$ 어디 $F$$G$ 라플라스 변환은 $f$$g$, 각각. 콘볼 ​​루션 정리를 사용하여 항별 역 라플라스 변환을 수행하여 오른쪽에서 두 번째 항과 마지막 항의 역 라플라스를 찾습니다.

AshwinTrisal Aug 21 2020 at 11:48

이것은 보여주는 것과 같은 질문입니다. $f\mapsto K(f)-f$예측 선형 연산자입니다. 때문에$K$ Hilbert-Schmidt 연산자이고 간결하며 $T(f)=K(f)-f$따라서 Fredholm입니다. 사실, 그것은 지수 0의 Fredholm입니다. 왜냐하면 Fredholm 지수는 콤팩트를 추가해도 변하지 않기 때문입니다. 그래서 우리가 커널이 사소하다는 것을 보여 주면, 우리는 연산자가 추측적임을 보여줍니다.

그것을 가정 $T(f)=0$, 또는 동등하게 $K(f)=f$. 그런 다음 거의 모든$t$, $f(t)=\int_0^t (t-s)f(s)\,ds$. 컨볼 루션 연산자의 이미지는 연속적이기 때문에 다음에 대한 연속 대표를 선택할 수 있습니다.$f$, 점적 평등을 요청하십시오. 이제 언제든지$t_0$, $\frac{1}{h}[f(t_0+h)-f(t_0)]=\frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}(t-s)f(s)\,ds$,보다 작거나 같음 $\|f\|_\infty\cdot h$, 따라서 기능을 차별화 할 수 있습니다. 이제 적분 아래에서 차별화 할 때$f'(t_0)=\int_0^{t_0} f(s)\,ds$, 그리고 이것은 $f''(t_0)=f(t_0)$, 그래서 $f(t)=c_1\sin(t)+c_2\cos(t)$. 이것들을 연결하면 즉시$c_1,c_2=0$, 그래서 커널은 사소하고 Fredholm 인덱스가 0이라는 것은 연산자가 $T$ 추측입니다.