코시 문제의 존재와 고유성에 대해 토론
이 연습에서 무슨 일이 일어나고 있는지 모르겠습니다. 나는 꽤 당황하기 때문에 도움이 필요합니다.
코시 문제를 고려하십시오
\ begin {cases} y '= \ frac {2} {t} y + 2 t \ sqrt {y} \\ y (1) = 0 \ end {cases}
존재와 독창성 연구
여기 $$f(t,y)=\frac{2}{t} y + 2 t \sqrt{y}$$ 이후 $y\geq0$ (나는 제곱근이 있습니다), 나는 열린 이웃으로 간주합니다 $K = \{t: |t-1|< r_1 \} \times \{y: 0 < y < r_2 \}$하지만 이런 식으로 나는 문제가 있습니다 $$f_y(t,y)= \frac{2}{t} + \frac{t}{\sqrt{y}}$$ 그것은 불연속 적이기 때문에 $y=0$.
따라서 Lipschitz 연속성으로 약한 상태를 찾아야합니다. $(t,y_1)$ 과 $(t,y_2)$ 에 $K$:
$$|\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr) + 2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| \leq |\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr)| + |2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| $$
그러나 불평등의 두 번째 용어는 상당히 문제가 있습니다. $x \mapsto \sqrt{x}$ Lipschitz는 $x\geq0$, 이는 거짓으로 알려져 있습니다.
그래서, 나는 정리를 실제로 적용 할 수 없습니다 ... 내가 틀렸나 요? 그렇다면 내 실수는 무엇입니까?
답변
RHS $f(t,y)$, 정의 $\Omega := (0, +\infty) \times [0,+\infty)$, 연속 $\Omega$그러나 그것은 국부적으로 Lipschitz 연속이 아닙니다. 따라서 Peano의 정리는 지역적 존재를 보장하지만 고유성은 유지할 필요가 없습니다 (실제로 우리의 경우에는 하나 이상의 솔루션이 있습니다).
더욱이, $f$ 하위 선형 $y$, 의미 $|f(t,y)| \leq a(t) + b(t) |y|$ 일부 연속 기능 $a, b \in C((0,+\infty))$, 모든 솔루션이 글로벌이되도록 (즉, 모든 솔루션이 $(0,+\infty)$).
주어진 코시 문제의 해를 계산해 봅시다. 한 가지 해결책은 상수 함수입니다.$y(t) = 0$, $t\in (0,+\infty)$.
다른 솔루션은 때때로 상수 솔루션에서 분기됩니다. $\tau \geq 1$. 이를 찾기 위해 먼저 미분 방정식의 양의 해를 계산해 보겠습니다. 변수의 변화와 함께$z = \sqrt{y}$ 우리는 선형 방정식을 $z' = z/t + t$, 솔루션은 다음과 같습니다. $z(t) = ct + t^2$, 일부 상수 $c\in \mathbb{R}$. 우리는 일부 하위 구간에서 정의 된 긍정 솔루션에만 관심이 있음을 상기하십시오.$(0,+\infty)$. 해당$y$ 그런 다음 형식입니다 $$ y_\tau (t) = t^2 (t- \tau)^2, \qquad t > \max\{\tau, 0\}, $$
어디 $\tau$실제 매개 변수입니다. 쉽게 볼 수 있습니다.$\tau \geq 1$, 다음 $y_\tau$ 왼쪽으로 연장 될 수 있습니다. $0$ 솔루션, 코시 문제의 글로벌 솔루션 얻기 $$ y_\tau(t) := \begin{cases} 0, & \text{if}\ t \in (0, \tau], \\ t^2(t-\tau)^2, & \text{if}\ t > \tau\,. \end{cases} $$ 결론적으로 $\tau \geq 1$위의 함수는 코시 문제의 해결책입니다. (이 솔루션 제품군을 Peano 브러시라고합니다.)