코시 완성은 동일한 무료 cocompletion을 가진 가장 큰 확장입니까?

Dec 09 2020

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허락하다 $C$ 카테고리이고 $$\hat{C} = [C^{op}, (Set)]$$그것의 자유로운 cocompletion이 되십시오. 이름에도 불구하고 무료 cocompletion의 무료 cocompletion은 일반적으로 free cocompletion과 동일하지 않습니다. 즉,$\hat{C} \not\simeq \hat{\hat{C}}$. 예를 들어$C = \{*\}$. [1].

코시 완성 이라고하는 더 나은 cocompletion이 있습니다. $\bar{C}$. 만약$C$ 작 으면 우리는 $$ C \hookrightarrow \bar{C} \hookrightarrow \hat{C}.$$

[2]의 정리 1에 따르면, $$\bar{C} \simeq \bar{\bar{C}},$$ 그래서 $\bar{C}$ 실제로는 cocompletion입니다. $$\hat{C} \simeq \hat{\bar{C}},$$ 그래서 $\bar{C}$ 무엇을 제공합니다 $C$너무 많이 변경하지 않고 필요합니다. 결국, 많은 경우에 보는 것이 더 낫습니다.$C$ 같이 $\hat{C}$ [삼].

질문

이다 $\bar{C}$ 가장 큰 카테고리 $C$$\hat{C}$ 무료 cocompletion은 $\hat{C}$? 보다 정확하게는 모든 카테고리 중에서$D$$\hat{C} \simeq \hat{D}$$$C \hookrightarrow D \hookrightarrow \hat{C},$$ 이다 $\bar{C}$ 보편적 인 것?

참고

  • [1] https://math.stackexchange.com/questions/3396276/presheaf-category-as-free-cocompletion

  • [2] 카테고리 이론의 코시 완성-[Francis Borceux and Dominique Dejean]

  • [삼] https://mathoverflow.net/a/3185/124549

답변

3 Student Dec 10 2020 at 16:52

대답은 긍정적입니다.

나는 Francis Borceux의 Handbook of Categorical Algebra 1의 6 장과 7 장에 세부 사항이있는 출판 된 계정을 발견했습니다.

댓글 덕분에 어떻게 진행되는지 요약하는 유용한 링크가 있습니다.

  • 범주에 대한 모리타 동등성

  • Kan 확장을 통한 Morita 동등성

  • Qiaochu Yuan의 멋진 글