Lambert W 함수를 사용하여이 방정식을 풀 수 있습니까?

Question

학교 프로젝트를 진행하는 동안 풀어야 할 방정식을 발견했습니다. Lambert를 사용해 보았습니다.$W$다음 방정식을 풀기 위해 함수를 사용했지만 성공하지 못했습니다. 해결할 수 있습니까?$x$ 수치 적 방법없이?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Answer 1

일반적으로 Lambert W를 사용하여이 문제를 해결할 수없는 것 같습니다. 다음과 같은 경우 가능할 것입니다. $a$ 또는 $b$ 였다 $0$.

매개 변수 중 하나가 작은 것으로 간주 될 수있는 경우 시리즈 솔루션을 시도 할 수 있습니다. 따라서 일련의 거듭 제곱$k$ 이다

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

Answer 2

공식적인 관점에서 할 수 있습니다.

방정식을 다음과 같이 다시 작성하십시오. $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$일반화 된 Lambert 함수 측면에서 솔루션이 있습니다 .

방정식 좀 봐 $(4)$ 연결된 종이에서.

이것은 훌륭하지만 실용적인 관점에서별로 유용하지는 않습니다.

수치 적 방법이 필요하기 때문에 함수의 0을 찾기 위해 추정이 필요합니다.

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. 1 차 도함수는$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ 그것은 취소 $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ 만약 $x_*$존재하는 경우이 점 주위에 Taylor 확장을 수행하여 추정값으로 $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

시도해 보자 $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

이것은 줄 것이다 $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

그때 $x_0=1.58434$ 정확한 해결책은 $x=1.50069$.

우리가 가지고 있기 때문에 $x_0$, Newton 메서드 반복을 살펴 보겠습니다. 그들은 될 것이다$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$