Lang의 학부 분석에서 Shakarchi의 1.3.4 증명 설명
저는 현재 Lang의 학부 분석을 통해 작업하고 있으며 Rami Shakarchi의 다음 증명을 이해하려고 노력하고 있습니다.
허락하다 $a$ 다음과 같은 양의 정수 여야합니다. $\sqrt a$비합리적입니다. 허락하다$\alpha = \sqrt a$. 숫자가 있음을 보여줍니다.$c > 0$ 모든 정수에 대해 $p, q$,와 함께 $q > 0$ 우리는 $\mid q \alpha - p \mid > c/q$.
아래에 Shakarchi의 증거 스크린 샷을 추가했습니다.
이 증명에 대한 나의 이해는 다음과 같습니다.
Lang의 제안은 합리화하는 것입니다. $q \alpha - p$, 즉 제품 가져 오기 $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$. 그렇게하면
$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$
소환 $q, a, p \in \mathbb{Z}$,와 함께 $q > 0$ 그리고 또한 $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$, 특히 $a \neq 0$. 그때$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$
내가 어느 정도 넘어지는 부분은 다음 부분입니다. $c$ 그런 $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$. 나는 우리가 선택한다고 생각한다$c$ 이 방법으로 $\mid \alpha \mid < 1$ 그래서 $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$. 만약 그렇다면 우리는 실제로 어떤 양의 배수를 선택할 수 있습니다.$\mid \alpha \mid$ 시위자에서, 즉 $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ 또는 $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ 잘 작동합니다.
이제 얻은 결과를 사용하여 $\textbf{1}$ 그리고 우리의 가설, 우리는 불평등을 설정했습니다 $\textbf{2}$. 나는 가장 왼쪽의 불평등이 어떻게 얻어지는 지에 대해 잃어 버렸다-나는 가설에 의해$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ 그리고 우리는 추가합니다 $\mid 2\alpha \mid$ 양측 모두에게 가장 올바른 불평등을 얻습니다.
그런 다음 최종 불평등에서 우리가 어떻게 아는지 불분명합니다. $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$.
이 두 가지 점에 대한 답을 찾고 있습니다.
- 위에서 설명한 단계에 대한 설명이 명확하지 않습니다. $c$ (우리가 선택하는 이유 $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$), 가장 왼쪽의 불평등 $\textbf{2}$, 중간 불평등 $\textbf{3}$.
- 이 증명은 나에게 상당히 직관적이지 않았습니다. 합리화를 고려하지도 않았습니다. $q \alpha - p$이 문제에 대해 처음 작업했을 때. 나는 그것이 당신이 이와 같은 작업 문제를 연습하면서 더 잘 보이기 시작하는 종류라고 생각합니다. 그래도 더 간단하거나 더 직접적인 증거가 있습니까?
답변
삼각형 불평등입니다.
$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$
이유 $3$ 선택한 이유는 다음과 같습니다. $|\alpha -\frac pq|$뭔가보다 더 큽니다. 그러나 만약$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ 우리는 단지 알고 있기 때문에 그것을 직접 얻을 수 없습니다 $|\alpha-\frac pq|$무언가보다 작습니다. 대신 우리는$|\alpha + \frac pq|$어떤 것보다 크다. 하지만 우리는 어떻게$|\alpha + \frac pq|$ 관련된 것에 $|\alpha -\frac pq|$? 그들이 한 방식은$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$. 그러나 그것은 두 개의 추가를 던져$\alpha$작품에 s.
"우리가 어떻게 아는지 불분명합니다.$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$"
글쎄, 당신은 $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$
그래서 $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$
$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$
$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$.
2 에서 가장 왼쪽의 불평등도 알아내는 데 약간 걸렸습니다. :)
삼각형 부등식입니다.
$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$
3 의 중간 불평등 은 2 의 전체 불평등입니다 .
선택 $c$ 더 유연 할 수 있지만 3을 사용하면 위의 모든 것이 취소되고 더 잘 작동한다고 생각합니다.