라플라스 변환 : 0과 해당 임펄스 응답 $h(t)$
극점과 임펄스 응답
임펄스 응답이 다음과 같은 형식이면
$$h(t) = e^{-\sigma_0 t}\cos(\omega_0 t) \, u(t)$$
(어디 $u(t)$ 단위 단계 함수)
Laplace 변환은 다음과 같습니다.
$$H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \int_{0}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt$$ $$s = \sigma + j\omega$$
극점은 $s$ 그래서 $$D(s) = 0 \rightarrow H(s) = +\infty $$ 그러나 이것을 이해하기 위해 나는 적분을 보는 것을 선호합니다 : 그것은 무한대 (극)로 갈 것입니다.$s$ 구성 요소를 반영 $h(t)$. 어떤 의미에서$e^{-st}$ "프로브" $h(t)$. 사실 :
하나의 실제 극 ($s = -\sigma_0$) 의미 $h(t) = e^{-\sigma_0t}u(t)$ 때문에 : $$\int_{0}^{+\infty} e^{-\sigma_0t}e^{-(-\sigma_0)t}dt = \int_{0}^{+\infty} 1dt = +\infty $$.
복합 켤레 극 ($s = -\sigma_0 \pm j\omega_0$) 의미 $h(t)$ 기하 급수적으로 감소하는 정현파입니다 (예 : $h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$) 때문에 : $$\int_{0}^{+\infty} e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)e^{-(-\sigma_0)t}e^{-j\omega t}dt = \int_{0}^{+\infty}\cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt $$ 무한한 $\omega = \pm\omega_0$ (푸리에 변환 $h(t)$ 지수 성분없이 정현파).
복잡한 켤레 극 $\sigma = 0$ ($s = \pm j\omega_0$) 의미 $h(t)$ 부패 성분이 없습니다 (예 : $h(t) = \cos(\omega_0t) u(t)$) 때문에 : $$\int_{0}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ 무한한 $\omega = \pm\omega_0$ (푸리에 변환 $h(t)$ 정현파).
0 : 임펄스 응답의 dirac?
자, 보자 $H(s)$Notch 필터 의 경우 " DSP에 대한 과학자 및 엔지니어 가이드 " 의 ch.32, p.17 에 나와 있으며 적분에 대한 유사한 추론이 수행 될 수 있는지 확인하십시오.
다음 필터를 사용해 보겠습니다 (위 그림은 설명 용으로 만 사용하고 여기에서는 다른 극점과 0을 사용합니다).
$$H(s) = \frac{s^2+1}{(s-(-1+i))(s-(-1-i))}$$
이 필터에는 2 개의 극과 2 개의 0이 있습니다.
- 0 : $z_1,z_2 =\pm i$
- 폴란드 : $p_1,p_2 =-1 \pm i$
찾아 보자 $h(t)$ 적분이 실제로 0 또는 $+\infty$ 이 0과 극점 값에 대해 각각.
이 도구 는 다음과 같은 역 라플라스 변환을 제공합니다.$H(s)$ :
$$h(t) = \delta(t) - 2e^{-t}\cos(t) u(t) + e^{-t}\sin(t) u(t)$$
폴란드 : $s=p_1$ 또는 $p_2$ 라플라스 변환에서 h (t)의 지수는 취소되고 실제로 무한한 일부 정현파의 푸리에 변환으로 유지됩니다. $\omega = \pm 1$ (나는 논의하지 않습니다 $\delta(t)$ 그러나 나는 그것이이 결과를 바꾸지 않을 것이라고 생각합니다).
0 : for $s=z_1$ 또는 $z_2$ 라플라스 변환에서 라플라스 변환의 실수 부분과 허수 부분이 0이면 결과는 0입니다. 실수 부분은 다음과 같습니다.
$$\int_{0}^{+\infty} (\delta(t) - 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt$$
$$=\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\cos(t)dt + \int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt$$
와
$$\int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt = -1$$
가상 부분은 다음과 같습니다.
$$\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\sin(t)dt + \int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\sin(t)dt$$
와
$$\int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\sin(t)dt = 0$$
질문
- 역 라플라스 변환이 올바른 경우 처리 방법 $\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\cos(t)dt$ 과 $\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\sin(t)dt$ 그것을 보여주기 위해 $H(s)$ 실제로 0입니다 $z_1$ 과 $z_2$ ?
- 이 모든 것이 맞다면, 임펄스 반응이 표현에 dirac을 갖는 것은 (물리적으로) 무엇을 의미합니까? 나는 대부분의 물리적 시스템의 임펄스 응답이 감소하는 지수와 정현파의 조합 일 뿐이라고 생각했습니다.
답변
먼저 질문에 대한 당신이 사용할 수있는 다음과
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t-a)\,f(t)\,dt = f(a), $$
와 $f(t)$모든 기능. 귀하의 경우 이러한 적분은 각각 값 1과 0을 산출합니다.
두 번째 질문에 대해서는 선형 시간 불변 시스템 만 고려할 것입니다. 이 경우 그러한 시스템의 임펄스 응답은 해당 시스템의 전달 함수에 분모와 같은 순서의 분자가있는 경우에만 Dirac 델타 함수를 포함 할 수 있습니다. 즉, 형식의 모든 전달 함수
$$ G(s) = \frac{b_n\,s^n + b_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + b_1\,s + b_0}{s^n + a_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + a_1\,s + a_0}, $$
와 $b_n \neq 0$ 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.
$$ G(s) = b_n + \frac{b'_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + b'_1\,s + b'_0}{s^n + a_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + a_1\,s + a_0}, $$
와 $b'_k = b_k - b_n\,a_k$. 상수의 역 라플라스 변환$b_n$Dirac 델타 기간에 기여합니다. 전달 함수의 나머지 부분에 대해 부분 분수 확장을 사용하여 Dirac 델타 항에 기여할 수 없음을 보여줄 수 있습니다.
물리적 시스템이 분모와 같은 순서의 분자를 가질 경우 시스템의 출력이 입력의 직접적인 영향을 받아야합니다. 이러한 물리적 시스템의 예로는 전압을 입력하고 입력 신호에서 출력으로의 전압 누출이있는 각도 위치를 측정하는 전기 모터가 있습니다. 그러나 대부분의 물리적 시스템은 분모로 더 낮은 순서의 분자를 가지고 있습니다. 노치 필터와 같은 디지털 필터에서 동일한 순서의 분자와 분모를 만날 가능성이 더 큽니다. 그러나 이러한 필터는 종종 물리적 시스템과 직렬로 사용되므로 결합 된 전달 함수도 더 낮은 차수의 분자를 갖습니다.
변환 할 함수가 $t=0$, 일방적 라플라스 변환은 일반적으로 다음과 같이 정의됩니다.
$$H(s)=\int_{0^-}^{\infty}h(t)e^{-st}dt\tag{1}$$
(적분 하한에 유의 $0^-$). 양측 라플라스 변환은 어쨌든 그 문제가 없습니다.
이 정의의 결과는 유도의 적분이
$$\int_{0^{-}}^{\infty}\delta(t)\cos(t)dt=\cos(0)=1$$
과
$$\int_{0^{-}}^{\infty}\delta(t)\sin(t)dt=\sin(0)=0$$
예상되는 결과를 제공합니다.
Dirac 임펄스를 포함하는 임펄스 응답은 특별한 것이 아닙니다. 입력-출력 관계가있는 간단한 (이상적인) 증폭기 또는 감쇠기$y(t)=\alpha x(t)$임펄스 응답으로 (스케일 된) Dirac 임펄스가 있습니다. 실제로 발생하지 않는 Dirac 임펄스를 입력하는 경우에만 출력에서 Dirac 임펄스를 얻습니다. 임펄스 응답의 Dirac 임펄스는 출력의 일부가 입력의 (확장되고 지연된) 사본임을 의미합니다. 0이 아닌 유한 한 제한이있는 주파수 응답이있는 모든 시스템$\lim_{\omega\to\infty}H(j\omega)$임펄스 응답에 Dirac 임펄스가 있습니다. 한계가 존재하고 유한 한 그러한 시스템의 몇 가지 예는 고역 통과 필터, 대역 정지 필터 및 모든 통과 필터입니다. 노치 필터는 대역 차단 필터의 특별한 경우입니다.