Levy의 연속성 정리를 사용한 분포 수렴 증명
다음 질문을 해결하려고합니다. (a)와 (b) 부분은 구조가 매우 비슷하지만 (b) 부분을 풀 수 없습니다.
내 시도 :
(a) 부분에 대해서는 Levy의 연속성 정리를 적용합니다. 고치다$u \in \mathbb{R}$ 그리고 참고 $$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$
의 독립에 의해 $N_t$ 그리고 $X_M(k)$ 및 두 번째 평등에 대한 합계와 기대 값을 교환하기 위해 지배적 수렴을 적용하고 $X_M(k)$세 번째. 지금은 지수 만 다루고 속기로 정의합니다.$Z \equiv X_M(1)$:
$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$ 여기서 다시 DCT를 적용하고 분포의 대칭에 의해 $Z$ 기대 값은 0입니다.
$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$
어디 $c = \frac{i u}{\sigma_M}$. 모든$t \ge 1$ 위의 합은 경계 모듈러스 ( $\exp(|c|M)$ 예를 들어), 따라서 특성 함수의 수렴을 $N(0,1)$ 그리고 우리는 (a) 부를 결론 지을 수 있습니다.
부분 (b)의 경우, 나는 동일한 일을 시도해 왔으며 분명히 다음과 같은 계산이 필요합니다. $\sigma_M$(a) 부분에서 사용하지 않았기 때문입니다. (간결하게하기 위해$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$) $$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$
선 (L) 이후의 수렴은 다음 과 같은 경우에만 유지 될 수 있다고 생각합니다.$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$ 나는 다음에 대한 모든 정보를 포함하도록 합계의 계수를 다시 작성하려고 시도했습니다. $\sigma_{M(t)}$, 즉 다음과 같음 $$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$나는 여기서이 결론을 내리는 방법을 모른다. 당신이 할 수 있다면 도와주세요-나는 이것에 어리석은 시간을 낭비했습니다.
답변
상수가 있음을 주목함으로써 $C > 0$ 어떤
$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$
모두를위한 $x \in \mathbb{R}$, 우리는
\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}
이제 주목함으로써
$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$
우리는 다음과 같이 차이를 더욱 제한 할 수 있습니다.
$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$
절대 상수 $C_2 > 0$. 이 경계가 수렴하기 때문에$0$ 같이 $t \to \infty$ 가정에 의해 $M$, 원하는 결론이 이어집니다.
추가.
나는 그것을 믿는다 $\pi$ 분모로 $\text{(5)}$오타입니다. 올바른 공식은 다음과 같습니다.$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$
유효성 $\text{(*)}$ 제한에 비판적으로 달려 $x \in \mathbb{R}$이므로 멱급수 확장에서 직접 얻을 수 없습니다. 그러나 이것은 Taylor 근사화의 나머지 항에 대한 명시 적 공식을 사용하여 증명할 수 있습니다. 예를 들어, 우리는$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$ 따라서 증명 $\text{(*)}$ 와 $C = \frac{1}{6}$.