리만 적분 함수는 연속 함수의 점적 한계입니까?
주어진 함수 $f$ 그것은 Riemann 통합 가능합니다 $[a,b]$, 일련의 연속 기능이 있습니까? $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ 수렴하는 $f$ 모든 곳에서 포인트 $[a,b]$?
거의 모든 곳에서 포인트 단위로 필요한 경우 연속 함수가 밀도가 높기 때문에 $L^1[a,b]$표준 수렴은 수렴하는 하위 시퀀스를 생성합니다. 이것은 Krantz, Real Analysis and Foundations (4th ed., p. 153)의 연습입니다. 나는 그것을 증명할 수 없었고, 저자에게 질문했을 때 그는 증명을 제공 할 수 없었습니다. 그러나 반례도 찾을 수 없습니다.
답변
어디에나? 아니. 거의 모든 곳에서 가능합니다.
연속 함수 시퀀스의 포인트 제한은 Baire 클래스 의 함수라고합니다.$1$. Baire는 이러한 기능의 많은 속성을 입증했습니다. 특히$E$ 비어 있지 않은 완벽한 세트입니다. $f$ ...에 $E$ 연속성이 있습니다.
다음 기능을 고려하십시오. $f$. 허락하다$[a,b] = [0,1]$. 허락하다$C$중간 3 분의 1 Cantor 세트입니다. 그래서$C$측정 값 0의 닫힌 집합입니다. 밝히다$f: [0,1] \to \mathbb R$ 다음과 같이.
$\bullet \;f(x) = 0$ 의 위에 $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 0$ 열린 간격의 끝점에서 $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 1$ 다른 곳에서는 셀 수없이 많은 $C$.
먼저 $f$ 모든 지점에서 연속 $[0,1]\setminus C$, 측정 세트 $1$, 그래서 $f$ Riemann은 통합 가능합니다.
그러나 또한 $f$ 비어 있지 않은 완벽한 세트로 $C$ 연속성이 없습니다. 둘 다 $\{x \in C : f(x) = 0\}$ 과 $\{x \in C : f(x) = 1\}$ 밀도가 높다 $C$. 그래서$f$ Baire 클래스가 아닙니다. $1$.