링키지와 Cohen-Macaulay-ness

Question

두 개의 축소 불가능한 구성 요소가있는 축소 된 lci 체계가 있다고 가정합니다. $X = Y \cup Z$. 나는 말하고 싶다$Y$ Cohen-Macaulay는 $Z$ 뿐만 아니라.

나는 이것이 Eisenbund Theorem 21.23 (오타가 있습니다 : 첫 번째 $J = (0:_A I)$삭제해야 함). 또는 Peskine과 Szpiro, "Liaison des variétés algébriques", 발의안 1.3에서 본질적으로 동일합니다.

내가 올바르게 이해하고 있습니까?

Answer 1

문제는 지역적입니다. 그래서$R$ Gorenstein 인 지역 반지가 되십시오. $I,J\subset R$ 밝히다 $Y,Z$귀하의 질문에서와 같이. 그러면 정확한 순서가 있습니다.$0\to I\to R\to R/I\to 0$ 그리고 우리는 $R/I$Cohen-Macaulay입니다. 모든$R,R/I,R/J$ 치수가 같다 $d$. 이중화, 하나는$0\to\omega_{R/I}\to R\to R/J\to 0$. 이것은 깊이$R/J\geq d-1$. 모듈로 일반 세트로 이동하여$d-1$ 최대 이상에서 요소, 하나의 경우로 줄일 수 있습니다 $d=1$. 이제 다시 이중화하여$0\to \operatorname{Hom}_R(R/J,R)\to R\to R/I\to\operatorname{Ext}^1_R(R/J,R)\to 0$. 자연스럽고지도가$R\to R/I$따라서 ext는 0입니다. 이것은 그 깊이를 말합니다$R/J>0$ 그것이 우리가 원했던 것입니다.

Answer 2

나는 당신의 참고 문헌에 액세스 할 수 없지만 여기는 반례입니다. 매끄러운 사각형 표면을 사용하십시오.$Q$ 에 $\mathbb P^3$, 부드러운 곡선 $C$ 에 $Q$ 동도의 $(1,3)$ 그리고 또 다른 부드러운 곡선 $D$ 에 $Q$ 동도의 $(3,1)$. 각각$C,D$ 뒤틀린 quartic입니다 $\mathbb P^3$. 취하다$Y,\ Z$ 과 $X$ 아핀 콘이 되려면 $C,\ D$ 과 $C\cup D$, 각각. $C\cup D$ 이다 $(2,4)$ 완전한 교차로 $\mathbb P^3$, 그래서 $X$ lci입니다. $X=Y\cup Z$, 동안 $Y,Z$ Cohen-Macaulay가 아닌 꼬인 사분 법 위에 원뿔입니다.