Lucas 다항식의 인자를 사용하여 특정 클래스의 자연수에 대한 소수성 검정
이 질문은 이전 질문 과 관련이 있습니다.
다음 주장을 증명하거나 반증 할 수 있습니까?
허락하다 $N=2n+1$ 어디 $n$ 1보다 큰 홀수 자연수입니다. $L_m(x)$ mth Lucas 다항식이고 $F_m(x)$ 환원 할 수없는 정도의 계수를 나타냄 $\varphi(m)$ 의 $L_m(x)$. 정수가있는 경우$a$ 그런 $F_{n}(a) \equiv 0 \pmod{N} $ 그때 $N$ 프라임입니다.
여기 에서이 테스트를 실행할 수 있습니다 . 이 주장은 작은 가치에 대해서만 확인했습니다.$N$ , 그건 $N \in [7,1000]$ 와 $a \in [1,100]$ , 테스트의 PARI / GP 구현이 너무 느리기 때문입니다.
편집하다
값에 대해 $n$이 테스트는 다항식 시간 ( PARI / GP 구현 ) 에서 실행되는 홀수 소수 입니다. Sophie Germain 소수 목록은 여기 에서 찾을 수 있습니다 .
답변
이 주장은 본질적으로 이전 주장과 동일한 방식으로 입증 될 수 있습니다 . 우리는$$F_n(x)=\prod_{\substack{|m|<n/2\\(m,n)=1}}(x+\zeta^m-\zeta^{-m}),$$ 어디 $\zeta\in\mathbb{C}$ 원시적이다 $2n$-통일의 뿌리. 분할 분야$F_n(x)$ 이다 $n$-사이클로 토믹 장.
그것을 가정 $q\nmid n$ 다음과 같은 소수입니다. $F_n(x)$ 모드 $q$ 뿌리가있다 $\mathbb{F}_q$. 뿌리$F_n(x)$ 에 $\overline{\mathbb{F}_q}$ 형태이다 $\xi^m-\xi^{-m}$, 어디 $\xi\in\overline{\mathbb{F}_q}$ 원시적이다 $2n$-통일의 뿌리. 가정에 따르면 Frobenius automorphism$t\mapsto t^q$ 이러한 뿌리 중 하나를 수정합니다. $q\equiv 1\pmod{2n}$. 다음과 같습니다.$a\in\mathbb{Z}$, 소인수 $F_n(a)$ 코 프라임 $n$ ~에 합동하다 $1$ 모듈로 $2n$. 특히$2n+1$ 분할 $F_n(a)$, 다음의 유일한 소인수 $2n+1$ 그 자체가 될 수 있습니다. $2n+1$ 프라임입니다.