매개 변수를 사용하여 선형 부등식 시스템 풀기

Aug 20 2020

부등식 시스템 풀기 \ begin {cases} 0 \ leq \ phantom {-2 \;} x + 2 \, y-3 \, b + 3 \, a \ leq 2 \\ 0 \ leq -2 \, x -3 \, y + 6 \, b \ phantom {\; + 3a \; \,} \ leq 1 \\ [4pt] 0 \ leq x \ leq 1 \\ 0 \ leq y \ leq 2 \\ [4pt ] 0 \ leq a \ leq 1 \\ 0 \ leq b \ leq 1 \ tag {*} \ end {cases} 여기$x,y$ 알 수없는 변수이고 $a,b$ 매개 변수입니다.

내 시도. 일부 계수와 부등식을 추가하여 변수를 분리하고 간단한 시스템 \ begin {cases} 0 \ leq y + 6a \ leq 5, \\ 0 \ leq -x + 9a + 3b \ leq 8. \\ \ tag {**} \ end {cases} 그러면 해결할 수 있습니다. 그러나 마지막 시스템의 솔루션은 초기 시스템의 솔루션이 아닙니다!

Maple과 wolframAlpha는 시스템을 해결할 수 없습니다.

도움이 필요하세요?

PS1 용 $a=\frac{63}{100}$ 과 $b=\frac{59}{100}$ (아래 G Cab 사진 참조) Maple이 솔루션을 제공합니다. \ begin {gather *} \ left \ {x = 1, {\ frac {9} {50}} \ leq y, y \ leq {\ frac {11} {25}} \ right \}, \ left \ { x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {9} {50}} <y, y <{\ frac {11} {25}} \ right \}, \ left \ {{\ frac {9} {50}} <y, x <1, y <{\ frac {11} {25}},-3/2 \, y + {\ frac {127} {100} } <x \ right \}, \ left \ {y = {\ frac {11} {25}}, {\ frac {61} {100}} \ leq x, x <1 \ right \}, \ left \ {x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {11} {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \} , \ left \ {{\ frac {11} {25}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {127} {150}},- 3/2 \, y + {\ frac {127} {100}} <x \ right \}, \ left \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {11 } {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \}, \ left \ {x = 0, {\ frac {127} {150}} \ leq y, y \ leq {\ frac {47} {50}} \ right \}, \ left \ {y = {\ frac {127} {150}}, x \ leq {\ frac {14} {75}}, 0 <x \ 오른쪽 \}, \ left \ {0 <x, {\ frac {127} {150}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {47 } {50}} \ right \}, \\ \ left \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {127} {150}} <y, y <{ \ frac {47} {50}} \ right \} \ end {gather *}

PPS 전체 솔루션 세트가 아니라 해당 영역에서 하나 이상의 솔루션을 찾는 데 관심이 있습니다 (존재하는 경우). $a$ 과 $b$예를 들어, $x=(a+b)/2, y=(2a-b)/10$ 해결책입니다.

답변

2 YuriNegometyanov Aug 27 2020 at 00:27

시스템을 \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \\ x, y \ in [ 0,1] \ tag1 \ end {cases} 가능한 쌍 세트$(a,b)\in[0,1]^2.$

$$\color{blue}{\mathbf{Case\ 1.\quad a-b >\dfrac23.}}$$

시스템 $(1)$ 솔루션이 없습니다.

$$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.\quad 0\le a \le \min\left[\frac{2+3b}3,1\right].}}\tag2$$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.1.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$

시스템의 첫 번째 방정식은 \ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.1} \ end {cases } 1 사분면에서 정점이있는 삼각형을 정의합니다.$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

1 사분면에 대한 두 번째 방정식은 정점이있는 사다리꼴을 정의합니다.

$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2),\quad(0, \frac{3b-3a}2).$

이후

$\ 0 \le 3b-3a\le 3b \le 2+3b-3a,$
$\ 0 \le \frac{3b-3a}2 \le 2b \le \frac{2+3b-3a}2,$

해결책은 정점이있는 심플 렉스입니다. $(3b-3a, 0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$

분석적으로 $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.1}$$

솔루션 $\quad a=\dfrac1{10},\quad b=\dfrac18.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.2.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$

시스템의 첫 번째 방정식은 \ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.2} \ end {cases} over 1 사분면은 정점이있는 삼각형을 정의합니다.$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

1 사분면에 대한 두 번째 방정식은 정점이있는 삼각형을 정의합니다.

$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$

이후

평등 $2b = \frac{2+3b-3a}2$ 경우에 일어난다 $a=\frac{2-b}3,$
평등 $3b = 2+3b-3a$ 경우에 일어난다 $a=\frac{2}3,$

다음 경우를 고려해야합니다.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.1.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$

해결책은 정점이있는 삼각형입니다. $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

분석적으로 $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.2.1}$$

솔루션 $\quad a\in\bigg[\dfrac1{8},\dfrac58\bigg],\quad b=\dfrac18.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.2.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23\bigg].}}$$

선 $2x+3y=6b$ 과 $x+2y = 2+3b-3a$ 그 지점에 교차점이있다 $(x_i,y_i) = (9a+3b-6, 4-6a).$

솔루션은 정점이있는 단순 $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (9a+3b-6, 4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$

분석적으로 $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg).\tag{4.2.2}$$

솔루션 $\quad a = \dfrac{9}{14},\quad b=\dfrac18.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.3.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$$

해결책은 정점이있는 삼각형입니다. $\quad (0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$

분석적으로 $$\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg).\tag{4.2.3}$$

솔루션 $\quad a = \dfrac{17}{24},\quad b=\dfrac18.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.3.\quad b\in \bigg[\dfrac16,\dfrac13\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$

\ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.3} \ end 형식의 시스템의 첫 번째 방정식 1 사분면에 대한 {cases} 는 정점이있는 사다리꼴을 정의합니다.$\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$

1 사분면에 대한 두 번째 방정식은 정점이있는 사다리꼴을 정의합니다.

$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac12(2+3b-3a)),\quad (0, \frac12(3b-3a)).$

이후

평등 $\frac{6b-1}3 = \frac{3b-3a}2$ 경우에 일어난다 $a=\frac{2-3b}9,$
평등 $\frac{6b-1}2 = 3b-3a$ 경우에 일어난다 $a=\frac16,$

다음 경우를 고려해야합니다.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-3b}9\bigg].}}$$

솔루션은 정점이있는 단순

$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$

분석적으로 $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.1}$$

솔루션 $\quad a=\dfrac1{12},\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-3b}9,\dfrac16\bigg].}}$$

선 $2x+3y=6b-1$ 과 $x+2y = 3b-3a$ 그 지점에 교차점이있다 $(x_i,y_i) = (9a+3b-2,1-6a).$

솔루션은 정점이있는 단순

$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{6b-1}3),\quad (9a+3b-2,1-6a).$

분석적으로 $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3, \frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg)}.\tag{4.3.2}$$

솔루션 $\quad a=\dfrac3{19},\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac16,b\bigg].}}$$

솔루션은 정점이있는 사다리꼴입니다.

$(3b,0),\quad (3b-3a, 0),\quad (0, \frac{3b-3a}2),\quad (0,2b).$

분석적으로 $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.3}$$

솔루션 $\quad a=\dfrac15,\quad b=\dfrac14.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[b,b+\dfrac23\bigg].}}$

시스템의 첫 번째 방정식은 \ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.4} \ end {cases }

1 사분면은 정점과 사다리꼴을 정의합니다. $\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$

1 사분면에 대한 두 번째 방정식은 정점이있는 삼각형을 정의합니다.

$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$

이후

평등 $2b = \frac{2+3b-3a}2$ 경우에 일어난다 $a=\frac{2-b}3,$
평등 $3b = 2+3b-3a$ 경우에 일어난다 $a = \frac23,$
평등 $\frac{6b-1}3 = \frac{2+3b-3a}2$ 경우에 일어난다 $a=\frac{8-3b}9,$
평등 $\frac{6b-1}2 = 2+3b-3a$ 경우에 일어난다 $a=\frac56,$

다음 경우를 고려해야합니다.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$

솔루션은 단락의 사다리꼴입니다. $2.3.3$ 위.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23 \bigg].}}$$

선 $2x+3y=6b$ 과 $x+2y = 2+3b-3a$ 그 지점에 교차점이있다 $(x_i,y_i) = (9a+3b-6,4-6a).$

솔루션은 정점이있는 단순

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (3b, 0),\quad (9a+3b-6,4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$

분석적으로 $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.2}$$

솔루션 $\quad a=\dfrac58,\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{8-3b}9 \bigg].}}$$

솔루션은 정점이있는 단순

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$

분석적으로 $${\small\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.3}$$

솔루션 $\quad a=\dfrac34,\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{8-3b}9,\dfrac56 \bigg].}}$$

선 $2x+3y=6b-1$ 과 $x+2y = 2+3b-3a$ 그 지점에 교차점이있다 $(x_i,y_i) = (9a+3b-8,5-6a).$

해결책은 정점이있는 삼각형입니다.

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (9a+3b-8,5-6a).$

분석적으로 $${\small (x\in[9a+3b-8,2+3b-3a])\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.4}$$

솔루션 $\quad a=\dfrac{14}{17},\quad b=\dfrac14.$

4 GCab Aug 22 2020 at 06:02

이와 같은 (이중) 불평등 시스템이있을 때 $$ \left\{ \matrix{ a \le x \le b \hfill \cr c \le x \le d \hfill \cr} \right. $$ 각각이 하나의 세그먼트를 나타낸다고 생각할 수 있습니다. $x$ 시스템이 AND를 나타내는 축, 즉 $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ x \in \left[ {a,b} \right] \hfill \cr x \in \left[ {c,d} \right] \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad x \in \left( {\left[ {a,b} \right] \cap \left[ {c,d} \right]} \right)\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad x \in \left[ {\max (a,c),\min \left( {b,d} \right)} \right] \cr} $$

따라서 귀하의 경우 다음과 같이 조작 할 수 있습니다. $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le x + 2y + 3a - 3b \le 2 \hfill \cr 0 \le - 2x - 3y + 6b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3\left( {b - a} \right) \le x + 2y \le 3\left( {b - a} \right) + 2 \hfill \cr 6b - 1 \le 2x + 3y \le 6b \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 3\left( {b - a} \right) \le x \le 3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y \hfill \cr 3b - 1/2 - 3/2y \le x \le 6b - 3/2y \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr m = \max \left( {3\left( {b - a} \right),3b - 1/2 - 3/2y,0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y,\;6b - 3/2y,\;1} \right) \hfill \cr m \le x \le n \hfill \cr} \right. \cr} $$

세 번째 단계에서 우리는 $x$,하지만 물론 우리는 $y$ 이 경우 획득 $$ \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( {3/2\left( {b - a} \right) - x/2 2b - 1/3 - 2/3x 0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3/2\left( {b - a} \right) + 1 - x/2 \;2b - 2/3x \;2} \right) \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$

그래서 일단 고정되면 $a, \; b, \; y$ 허용 범위 내에서 계산을 마칠 수 있습니다. $x$ 첫 번째 경우 또는 두 번째 버전에서는 그 반대입니다.

Geogebra에서 스케치 한 시스템은

귀하의 의견에 대한 회신 메모

스케치에서 볼 수 있듯이 솔루션 (존재하는 경우)은 일반적으로 2D 영역을 정의합니다.
묘사 된 사례를 참조하여 해결 된 후$a$ 과 $b$, 당신은 $y$ 허용 된 범위에 걸쳐 $[0,2]$ 결과적으로 결정 $x$,이 개 범위 내에 있도록 반드시에서 따라$y$.
경계를 표현할 가능성이 없습니다.$x$ 과 $y$ 서로 독립적으로.

예를 들면 $a=0.63 ,\; b=0.59$

$$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 0.63 \\ b = 0.59 \\ 0 \le y \le 2 \\ m = \max \left( { - 0.12,1.27 - 3/2y,0} \right) \\ n = \min \left( {1.88 - 2y,\;3.54 - 3/2y,\;1} \right) \\ m \le x \le n \\ \end{array} \right.\;\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le y \le 2 \\ \begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y\; \to \;\emptyset } \hfill & {\left| {\;0.94 \le y \le 2} \right.} \hfill \\ \end{array} \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0.18 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ \end{array}} \right. \\ \end{array} $$

두 번째 버전은 대신 더 간단한 결과를 제공합니다. $$ \left\{ \matrix{ a = 0.63 \hfill \cr b = 0.59 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( { - 0.06 - x/2,1.18 - 1/3 - 2/3x,0} \right) = \hfill \cr = 1.18 - 1/3 - 2/3x \hfill \cr n = \min \left( {0.94 - x/2,\;1.18 - 2/3x,\;2} \right) = \hfill \cr = 0.94 - x/2 \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$

추가

나는 당신의 요구 사항을 제대로 파악하지 못했지만, 어쨌든 해결책에 대한 다른 관점을 제공 할 수있는 문제에 대한보다 기하학적 인 접근 방식을 도입 할 것입니다.

각각의 이중 부등식은 일정한 간격으로 두 개의 평행선 사이에 구성된 스트라이프를 나타냅니다. 두 줄무늬가 겹쳐져 평행 사변형을 정의하며, 모양은 변경되지 않고 그대로 유지됩니다.

네 정점의 좌표는 다음과 같습니다. $$ \begin{array}{c|cccc} {} & & {Vsi} & {Vss} & {Vii} & {Vis} \\ \hline x & & {9a + 3b - 8} & {9a + 3b - 6} & {9a + 3b - 2} & {9a + 3b} \\ y & & { - 6a + 5} & { - 6a + 4} & { - 6a + 1} & { - 6a} \\ \end{array} $$ 이제 x가 될 때까지 $Vsi$ 보다 큼 $1$ 전체 평행 사변형 $P$ 직사각형을 벗어납니다. $R = [0,1] \times [0,2]$.
y의 경우 동일$Vsi$0 미만입니다. 그래서 해결책을 가지려면$$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 9a + 3b - 8 \le 1 \hfill \cr 0 \le - 6a + 5 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr a \le 5/6 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 1/2\; \wedge \;0 \le a \le 5/6 \hfill \cr 1/2 < b \le 2\; \wedge \;0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr} \right. \cr} $$위는 필수 조건이지만 충분하지 않습니다. 왜냐하면 상부 정점이 2 사분면에있을 때 우리는 여전히 그것을 부과해야하기 때문입니다.$P$ 교차 $R$, 이는 이전 최소 / 최대 조건을 사용하는 것만 큼 복잡합니다.