맞습니까? $\cup_{g\in G}gHg^{-1}\subsetneq G$, 모든 $H$, 무한 그룹의 적절한 하위 그룹 $G$? [복제]

Question

허락하다 $G$ 그룹이되고 $H$, 적절한 하위 그룹 $G$ 와 $[G:H]<\infty$. 맞습니까?$\bigcup\limits_{g\in G}gHg^{-1}$ 적절한 하위 집합입니다 $G $? 만약$G$ 우리가이 주장을 증명할 수있는 유한 한 그룹이지만 이것이 무한한 그룹에게 맞습니까?

Answer 1

네, 맞습니다. 의 행동을 고려하십시오$G$ 유한 집합에서 왼쪽 곱셈으로 $X$ 왼쪽 코셋의 $H$ 에 $G$. 이 작업은 전 이적입니다. 액션은 동형을 정의합니다$\phi:G \to {\rm Sym}(X)$.

그런 다음 이미지 $P$ 의 $\phi$ 유한 집합의 전이 그룹 그룹입니다. $X$, 요소가 있어야합니다. $a \in P$고정 점없이. (이는 유한 집합에 대한 전이 동작의 평균 고정 점 수가$1$, ID는 두 개 이상의 점을 수정합니다. $H$ 우리가 가진 적절한 하위 그룹입니다 $|X| > 1$).

자, 만약 $b \in gHg^{-1}$ 일부 $g \in G$, 다음 $b(gH) = gH$, 그래서 $\phi(b)$ 수정 $gH$. 따라서 요소$b \in G$ 와 $\phi(b) = a$ 거짓말하지 않는다 $\cup_{g \in G} gHg^{-1}$.

Answer 2

그것은이다 허위 어떤 무한 그룹. (편집 : 여기에서 "거짓" 은 추가 조건이있는 본문이 아닌 제목에서 묻는 질문을 나타냅니다.$H$ 유한 인덱스가 있음 $G$.) 가장 간단한 반례는 $G = {\rm GL}_2(\mathbf C)$ 과 $H$ 상부 삼각 행렬의 부분 군입니다. $\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}$ 어디 $a, c \in \mathbf C^\times$.

마다 $A \in {\rm GL}_2(\mathbf C)$ 에 고유 벡터가 있습니다. $\mathbf C^2$, 말 $v$ 고유 값으로 $\lambda$: $Av = \lambda v$ 과 $v \not= \binom{0}{0}$. 허락하다$w$ 벡터가된다 $\mathbf C^2$ 그것은 선 밖에있다 $\mathbf C v$. 우리는 쓸 수있다$Aw = zv + z'w$ ...에 대한 $z$ 과 $z'$ 에 $\mathbf C$. (매트릭스$A$ 선형 적으로 독립적 인 고유 벡터가 없을 수 있습니다. $v$, 즉, 전부는 아닙니다 $2 \times 2$ 복잡한 행렬은 대각 화 가능하므로 선택할 수 없습니다. $w$ 고유 벡터로 $A$.) 매트릭스 표현 $A$ 기초와 관련하여 $\{v,w\}$ 의 $\mathbf C^2$ 이다 $\begin{pmatrix}\lambda &z\\0&z'\end{pmatrix}$, 그래서 $A$ 역행렬에 의해 공액됩니다. $G$ 에 $2 \times 2$ 매트릭스 $H$. 그것은 증명한다$G = \bigcup_{g \in G} gHg^{-1}$.