만약 $a,b \in \mathbb{R}^n$, 다음 $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Aug 17 2020

만약 $a,b \in \mathbb{R}^n$, 다음 $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

우리는 $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

그리고 그 $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

그러나 여기에서 어떻게 계속할 수 있는지 모르겠습니다. 내가 가져 가면$||a||-||b||$ 나는 그것을 얻는다 $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

전혀 도움이되지 않습니다. 내가 여기서 무엇을해야합니까?

답변

8 SiongThyeGoh Aug 17 2020 at 14:11

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

그 후 $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.

마찬가지로 우리는 $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

그 후 $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

그건 $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

3 aras Aug 17 2020 at 14:11

비열한 속임수 : 쓰기 $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$, 삼각형 부등식을 직접 사용하십시오.

2 RalphClausen Aug 17 2020 at 14:50

@Siong Thye Goh가 이미 솔루션을 수행 했으므로 한 가지만 언급하겠습니다.


$\blacksquare~$ 주장 : 모든 벡터 부분 공간 $(X, \| \cdot \|)$$~\mathbb{K}^{n}$, 우리는 다음과 같은 불평등이 충족되었습니다. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$증거 : 우리는$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} 그때 $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

따라서 우리는 $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.


불평등 사용 $x, x_0 \in X~$ ...에 대한 $(X, \| \cdot \|)$ 규범 선형 공간이고 $X$ 의 부분 공간 $\mathbb{R}^n$, 우리는 매우 중요한 주장이 있습니다.


$\bullet~$ 주장 : 지도$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$이다 연속 또는 즉, 표준 $\| \cdot \|$이다 연속.

$\bullet~$ 증명 : 우리가 가지고있는 연속성의 정의에서$\epsilon > 0$, 존재 $\delta > 0$ 그런
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} 이전 문제에서 우리는 불평등이 있습니다 \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} 우리를 선택합시다 $\epsilon = \delta$. 따라서 우리는\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} 지도가 $\| \cdot \|$이다 연속 에서$x_{0}$. 같이$x_{0}$임의의 다음 함수$\| \cdot \|$전체 공간에서 연속적 입니다. $X$.


이것은 모든 노름이 유한 차원 벡터 부분 공간 에서 연속적이라는 중요한 증거를 만듭니다.$\mathbb{K}^n$.

질문과 관련이 없지만 스팸에 대한 의도는 없습니다. :)