만약 $\{a_n\}$ 긍정적 인 시퀀스이고 $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, 그런 다음 $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.

Question

허락하다 $a_n$ 양의 시퀀스 여야합니다.

우리는 정의합니다 $b_n$ 다음과 같이 :

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

질문 : 증명$\lim b_n=\infty$.

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내가 제안한 해결책 : 그 반대 (한계가 무한대가 아님)를 증명할 수 있었는데 내가 뭘 잘못했는지 보여 주실 수 있나요?

나는했다 $a_n$ 다음과 같이 : $1,1,2,8,64,1024,\dots$ 그때 $b_n$ is : $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ 마지막 요소를 제외한 첫 번째 요소는 다음으로 수렴하는 기하학적 진행의 합입니다. $2$ 언제 $n$ 너무 커져서 전체 한도가 $2+a_n$ 확실히 무한이 아닌 ...

Answer 1

반례에서 무언가가 작동하지 않습니다. 실제로 당신은

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

따라서

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

그것을 증명하기 위해 $b_n \to \infty$, AM-GM에 의해 우리는

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

그런 다음 압착 정리로 결론을 내립니다.

Answer 2

우리는 쓸 수있다

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ 어디 $c_k$ 양수입니다.

최소값 $b_n$ 그래디언트를 취소하면 찾을 수 있습니다.

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ 또는 $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

해결책은 $p=c_k=1$ 과 $b_n=n$ @user가 독립적으로 찾은 가능한 가장 작은 합계입니다.