만약 $A$ Noetherian이라면 모든 분수 이상은 $x^{-1} \frak{a}$ 어떤 이상을 위해 $\frak{a}$ 의 $A$

Aug 18 2020

[진술] If $A$ Noetherian이라면 모든 분수 이상은 $x^{-1} \frak{a}$ 어떤 이상을 위해 $\frak{a}$$A$, $x \in A$.


[시도]

나는 이것을 Atiyah Macdonald Commutative algebra, Chapter 9, page 96, Fractional ideals에서 찾을 수 있습니다.

그들은 말한다면 $A$ Noetherian이라면 모든 분수 이상은 $x^{-1} \frak{a}$ 어떤 이상을 위해 $\frak{a}$$A$, $x \in A$ 그래서 모든 분수 이상은 유한하게 생성됩니다.

"분수 이상은 유한하게 생성됩니다"는 괜찮습니다. $A$ noetherian 너무 이상적입니다 $\frak{a}$ 유한하게 생성됩니다.

그러나 위의 진술을 어떻게 보여줄 수 있습니까?

허락하다 $M$분수 이상이어야합니다. 그런 다음 정의에 따라$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ 그런 $\frac{a}{b} M \subseteq A $, 그래서 $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

다음 단계는 무엇입니까?

답변

3 Stahl Aug 18 2020 at 12:26

허락하다 $\{m_i\}_{i\in I}$ 일으키다 $M$$A$-기준 치수. 그런 다음$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ 그것은 다음과 같다 $m_i\in\frac{b}{a}A.$ 따라서 각각 $i,$ 우리는 쓸 수 있습니다 $$m_i = \frac{b_i}{a},$$$b_i\in A.$ 이것은 \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} 그러나 지금 $\sum_{i\in I}b_i A$ 단순히 이상입니다 $A$ 에 의해 생성 $b_i,$ 그래서 우리는 끝났습니다.