만약 $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, 높이 포함 $AD$ 및 중앙값 $AK$. 알다 $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$
만약 $\triangle ABC$ 삼각형이고 $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, 높이 포함 $AD$ 및 중앙값 $AK$; 한다고 가정$D$ 사이에 $B$ 과 $K$.
- 증명 $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
- 그런 다음 증명하십시오 $\angle BCA= \frac\pi 8$ 만약 $|AD|=|DK|$.
- 결론 $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$
이미 무승부를 달성했지만 시작하는 방법을 잘 모르겠습니다.
알아 $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$
답변
circumcircle을 고려하십시오 $\triangle ABC$. 이후$\angle A=\frac{\pi}{2}$, 그것은 직경을 대체하므로 $K$ circumcenter이고 $$KA=KB=KC\tag{1}$$
- 이후 $\triangle KCA$ 이등변, $\angle KCA=\angle KAC$.
에$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, 따라서 $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$,하지만 $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, 따라서 $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED. - 에 $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, 따라서 $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
이후$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ 과 $\angle KAC=\angle KCA$, 따라서 $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED. - 에 $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ 과 $AK=KC=AD\sqrt{2}$ 그러므로 $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ 다른 기능 $\frac{\pi}{8}$ 사용하여 수행됩니다 $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
허락하다 $D$ 사이에 두다 $K$ 과 $B$.
따라서 $AK$ 중앙값입니다. $$AK=CK=KB,$$ 주는 $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$
당신이 그것을 알아 냈기 때문에 $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, 유사한 삼각형의 해당 각도가 같다는 속성을 사용하십시오. 또한$AK=KC$, 그 후 $\triangle KAC$ 이등변입니다.
만약 $AD=DK$, 우리는 $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. 그러므로,$\triangle KAC$ 이등변이기 때문에 우리는 $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.
우리는 $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. 에$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$