만약 $f$ 그러면 연속적이다 $f$ 균일하게 연속적입니다. $|f|$ 균일하게 연속적

Dec 30 2020

만약 $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ 그러면 연속적이다 $f$ 균일하게 연속적입니다. $|f|$ 균일하게 연속적입니다.

지도 $f$ 미터법 공간에서 $M=(M,d)$ 미터법 공간에 $N=(N,\rho)$ 모든 경우에 균일하게 연속적이라고합니다. $\epsilon>0$, 존재 $\delta>0$ 그런 $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ 할때는 언제나 $x,y \in M$ 풀다 $d(x,y)<\delta$.

분명히, 만약 $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ 균일하게 연속적입니다. $|f|$ 균일하게 연속적입니다. $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$근데 컨버스 부분을 보여주는데 정말 문제가 있어요. 지역에서$f$ 항상 긍정적이거나 부정적입니다. 우리는 문제가 없을 것입니다. $f$기호를 바꾸고 있습니다. 0이$f$ 유한 한 다음 우리는 최소한의 $\delta$s 및 결과를 마칩니다. 0이되면 어떻게 될까요?$f$ 무한한가요?

답변

2 Furrer Dec 30 2020 at 07:30

주석에서 언급했듯이 여기에 제공된 증명 은 전체를 위해 작동하도록 쉽게 수정할 수 있습니다.$\mathbb{R}^n$.

이후 $\lvert f \rvert$ 균일하게 연속적이며 $\delta > 0$ 그런 \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} 참고 $f(x)f(y) > 0$, 다음 \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} 보다 작은 $\epsilon/2$ 할때는 언제나 $d(x,y) \leq \delta$. 당연히이 사건은 아주 사소한 일이었습니다. 이제 우리는$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. 항상 그것을 보유하고 있기 때문에\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} 그것을 보여주는 것으로 충분합니다 $\star$ 의 존재를 의미 $z$ 그런 $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$$f(z) = 0$. 그때 때문에\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} 할때는 언제나 $d(x,y) \leq \delta$. 이후$f$ 연속적이며 적절한 $z$ 연속성에서 뒤 따른다 $f$$\star$(중간 가치 정리의 결과로 여기를 참조 하십시오 ).