만약 $f$ 계속된다 $[a,b]$, 다음 $f$ 에 묶여있다 $[a,b]$. 대체 증명에 대한 질문.

Question

아래는 인터넷에서 찾은 증거입니다.

내 질문이 있습니다. $f$ 위와 같이 정의됩니다. $f$ 모두를 위해 정의됩니다 $x ∈ K$ 그것은 직접적으로 의미하지 않습니까? $f$ 모두를 위해 제한되어야합니다 $x ∈ K$그 간격에? 이후$f(x) = ∞$ 또는 $f(x) = -∞$함수의 범위에 유효한 값이 될 수 없습니까? 나는 그것이 단계에서 그들이 말하는 것 같아요$\lim_{i\to ∞}f(x_{n_{i}})=f(x)$,하지만 그 주장을하려고한다면 왜 전후에 모든 일을해야합니까? 또한 내가 정확하다면 내 결과는 더 일반적입니다 .f가 f가 경계가 있음을 의미 해야하는 압축 세트에서 정의되면 정리의 결과입니다.$∞$ 과 $-∞$ 모든 함수의 범위에있는 유효한 값이 아닙니다.) $f$연속적입니다. 내 증명에 결함이 있습니까?

Answer 1

"유한"의 정의를 오해하고 있습니다. 연속성 / 압축성은 잊어 버리세요. 허락하다$X$ 비어 있지 않은 집합이어야합니다. $f:X\to \Bbb{R}$ 다음 두 문장을 고려하십시오.

1. 모든 $x\in X$, $f(x)$ 유한하다 (즉 $f(x)\in \Bbb{R}$... 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. $|f(x)|<\infty$)

2. 숫자가 있습니다 $M>0$ 그런 모든 $x\in X$, $|f(x)| < M$

"숫자가 있습니다. $M>0$"는 문장의 전체 의미를 변경합니다.

기능 이후 $f:X\to \Bbb{R}$ 있다 $\Bbb{R}$대상 공간으로서 첫 번째 진술은 매우 사소한 이유로 항상 참이며, 이것이 특별한 이름이없는 이유입니다. 두 번째 진술은 매우 다른 것을 말하며 실제로 훨씬 더 강력한 주장입니다. "의 정의$f:X\to \Bbb{R}$ is bounded "는 두 번째 문입니다.

기하학적으로 고려하면 차이가 분명합니다. $X= \Bbb{R}$ 과 $f(x) = e^x$ 과 $g(x) = \arctan(x)$; 이 두 함수의 그래프를 그려보고 그 이유를 알아보십시오.$f$ 제한되지 않지만 $g$ 제한됩니다.

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당신이 게시 한 정리의 결과는

만약 $K$ 콤팩트 한 미터법 공간입니다. $f:K\to \Bbb{R}$ 연속 함수이면 $f$제한됩니다. 더 명확하게 말하자면 숫자가$M>0$ 모두를 위해 $x\in K$, $|f(x)|<M$.

다시 한 번 완전히 다른 주장입니다 (완전히 사소한 주장). $x\in K$, $f(x)$ 유한하다 ".