만약 $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ 모든 유리수 $a<b$, 다음 $f(x)=0$ ae [중복]

Question

허락하다 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$통합 가능한 기능이어야합니다.
만약$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ 모든 유리수 $a<b$, 다음 $f(x)=0$ 거의 모든 곳에서.

힌트 : 먼저 증명$\int\limits_Af=0$ ...에 대한 $A$ 오픈 세트, $A$ 측정 가능.

내 시도 : Let $A$ 오픈 세트 $\mathbb{R}$. 그러면 우리는 쓸 수 있습니다$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ 어디 $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$합리적 끝점을 가진 개방 간격의 분리 된 모음입니다 (가능합니까?)

그래서 $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

그렇다면 측정 가능한 결과를 어떻게 사용해야합니까? $A$ 또한 그렇게 한 후 $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ 암시 $f=0$ae?
당신의 도움을 주셔서 감사합니다

Answer 1

간단하다고 생각합니다. 허락하다$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ 세트의 척도 $D$. 우린 알아$\mu (A)=0$ 과 $\mu (B)=b-a$. Lebesgue 적분 :$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ 때문에 $\int_{A} f(x)d\mu=0$( 때문에 $f(x)=0$ 거의 모든 곳에서) 그리고 $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Answer 2

컬렉션을 정의하는 고전적인 트릭을 할 수 있습니다.

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

그리고 그것을 보여줍니다 $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. 이후$f$ 측정 가능하지 않으면 최종 원하는 결과가 뒤따를 것입니다. $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ 어디 $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

나중에 확인할 수 있습니다. $\mathcal{E}$ 이다 $\sigma$-대수학을 보여 주면 $A\in \mathcal{E}$ 모든 오픈 세트 $A$, 그런 다음 $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

마지막으로 합리적인 끝 점이있는 간격은 다음과 같은 토폴로지의 셀 수있는 기반이기 때문에 $\mathbb{R}$, 모든 오픈 $A\subseteq \mathbb{R}$ 합리적인 끝점을 가진 간격 모음이 있습니다. $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ 그런 $A=\cup (a_k,b_k)$. DCT를 사용하면$\int_A f =0$.