만약 $(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$ 그룹입니다, 증명하십시오 $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ 프라임입니다.

Question

허락하다 $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. 합동 클래스 정의$\overline x$ 같이

$$\overline x = \{c\in\mathbb{Z}\;|\; c-x\equiv0\pmod{n}\}$$

밝히다 $\mathbb{Z}_n$, 모듈로의 모든 합동 클래스 집합 $n$:

$$\mathbb{Z}_n = \{\overline0, \overline1, \ldots, \overline{n-1}\}$$

마지막으로 작업 정의 $\otimes$ 같이

$$\overline{a} \otimes \overline{b} = \overline{a\times b}$$

어디 $a\times b$ 정규 곱셈을 나타냅니다. $\mathbb{Z}$.

Bezout의 정리 사용 (Let $a,b\in\mathbb{z}$, 다음 $\gcd(a, b) = 1 \iff \exists u, v\in\mathbb{Z}$ 그런 $au+bv = 1$.) 증명한다면 $(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$ 그럼 그룹 $n$ 프라임입니다.

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나의 시도 :

받아 $\overline x\in\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}$. 세트$\overline x$ 모두 포함 $c\in\mathbb{Z}$ 다음과 같은 합동을 충족합니다.

$$c-x \equiv0\pmod{n}$$

다시 말해,

$$x \equiv c\pmod{n}$$

따라서 일부 $m\in\mathbb{Z}$,

$$c^{-1}\cdot x \equiv 1\pmod{n} \implies c^{-1}\cdot x = 1 + m\cdot n$$

이것을 다시 배열하고 Bezout의 정리를 사용하면

$$c^{-1}\cdot x - m\cdot n = 1 \implies \gcd(x, n) = 1$$

이후 $\overline{x}$ 임의로 찍은 것입니다. $n$ 프라임입니다.

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코멘트:

그룹 공리를 실제로 사용하지 않았기 때문에 이것이 옳지 않다고 생각합니다. $c^{-1}$ 존재합니다.

내가 어디에서 잘못했는지 알아낼 수 있습니까?

Answer 1

그룹 공리는 다음을 요구합니다. $c^{-1}$존재하므로 그중 하나를 사용했습니다. 더 간단한 접근 방식은$n$ 소수가 아닙니다. 두 숫자로 나눌 수 있습니다. $a,b \in \Bbb Z_n$. 그런 다음 곱셈 연산이 정의되지 않았습니다.$a \otimes b$이므로 그룹이 아닙니다.