만약 $p$ 홀수 소수이고 $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, 다음 $\alpha^2$ 원시 루트 모듈로가 아닙니다. $p$.

Aug 16 2020

사실을 증명하거나 거짓이면 반례를 제시하십시오.

만약 $p$ 홀수 소수이고 $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, 다음 $\alpha^2$ 원시 루트 모듈로가 아닙니다. $p$.

사실임을 증명하려고했지만 어디서부터 시작해야할지 모르겠습니다. 저는 Fermat의 Little Theorem을 사용할 생각이었습니다.$p$ 프라임이고 $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, 다음 $\alpha^{(p-1)}=1$ 그러나 FLT에서 원시 뿌리로 어떻게 점프합니까? 기본 루트는 요소로 정의됩니다.$\gamma=\phi(m)$ 하지만 그게이 문제와 어떻게 연결됩니까?

답변

2 Yesit'sme Aug 16 2020 at 11:42

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$마지막 단계는 FLT에서 이어집니다.

따라서 순서 $a^2$ 모드 $p$ 기껏해야 $\frac{p-1}{2}$, 따라서 정의에 따라 원시 루트가 될 수 없습니다.