만약 $\widehat{M}$ 무료입니다 $\widehat{R}$-계급 모듈 $n$ 그때 $M$ 생성 세트가 있습니다 $n$ 요소로 $R$-기준 치수.
내 마지막 질문을 참조 하는 경우$\widehat{M}$ 무료입니다 $\widehat{R}$-모듈, 다음 $M$ 무료입니다 $R$-기준 치수, $R$Zariski 반지입니다. 다음 질문을하고 싶습니다.
허락하다 $R$ Zariski 반지가되다 $I$-adic 토폴로지, $I \subset J(R)$. 허락하다$M$ 유한하게 생성되다 $R$-모듈과 같은 $I$-adic 완료 $\widehat{M}$ 무료입니다 $\widehat{R}$-계급 모듈 $n$. 그럼 어떻게 보여줄 수 있니$M$ 생성 세트가 있습니다 $n$ 요소로 $R$-기준 치수.
도움이 필요합니다.
답변
중히 여기다 $n$ 발전기 $\widehat M$, $x_1,...,x_n$.
허락하다 $y_1,...,y_n$ 그들의 이미지를 $M/IM$. 그때,$y_1,...,y_n$ 일으키다 $M/IM$.
과연, $\widehat M\to M/IM$ 순전히 ($M\to \widehat M\to M/IM$ 추측), 그래서 만약 $z\in M/IM$, 허락하다 $w$ 어떤 선행이든지 $w= \sum_i \lambda_i x_i$ 암시한다 $z =\sum_i \mu_i y_i$,와 함께 $\mu_i$ 이미지 $\lambda_i$ 아래에 $\widehat R\to R/I$.
하지만 지금부터 $I\subset J(R)$, 나카야마의 기본형에 따르면 $y_1,...,y_n$ 일으키다 $M$ (여기서는 $M$ 유한하게 생성됨)